3.3 Прямая в пространстве

Перечислим виды уравнений прямой в пространстве.

1. Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух плоскостей, если нормали у них не параллельны:

– общее уравнение.

2. – канонические уравнения.

3. – параметрические уравнения.

Геометрический смысл букв, входящих в канонические и параметрические уравнения: – координаты текущей точки прямой, – координаты фиксированной точки прямой, – координаты направляющего вектора прямой.

Заметим, что в каждой точке пространственной прямой можно провести бесчисленное множество векторов, перпендикулярных к ней, не параллельных между собой. Поэтому задание нормали к прямой не определяет ее положения в пространстве. Чтобы составить канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве, нужна фиксированная точка прямой и ее направляющий вектор.

Расстояние от точки до прямой находится по формуле

, (16)

Где – радиус-вектор точки , – радиус-вектор фиксированной точки прямой и – ее направляющий вектор.

Расстояние между двумя прямыми и , ( не параллелен ) вычисляется по формуле

. (17)

Условие пересечения прямых: . Если прямые скрещиваются, то .

Чтобы перейти от общего уравнения к каноническим или параметрическим, надо найти фиксированную точку и направляющий вектор. Так как прямая задана как линия пересечения двух плоскостей, то все точки прямой принадлежат обеим плоскостям. Получаем два уравнения на три неизвестные. Одну из координат, например , полагаем равной любому числу (проще всего нулю) и, решая систему двух уравнений с двумя неизвестными, находим остальные две координаты.

Если система окажется несовместной при выбранном (на прямой нет точки с такой аппликатой), то либо полагаем равному другому числу, либо полагаем или .

Направляющий вектор находим как векторное произведение и , так как и .

Пример 1. Написать канонические и параметрические уравнения прямой

Решение. Положим , тогда получим откуда находим , . Фиксированная точка . , , , . Канонические уравнения: . Обозначая , получим параметрические уравнения: , , .

Пример 2. Найти уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение. В качестве фиксированной точки прямой можно взять любую из точек и . Направляющим вектором служит любой вектор, параллельный прямой (в частности, расположенный на самой прямой), поэтому . Запишем уравнения .

Пример 3. Вычислить расстояние от точки до прямой . Часто вызывает недоумение число нуль, стоящее в знаменателе (одна из координат направляющего вектора равна нулю). В этом случае полагают равным нулю соответствующий числитель, в данном случае – уравнение одной из плоскостей.

Решение. Из уравнения прямой берем фиксированную точку и . Воспользуемся формулой , где , , , . . .

Пример 4. Указать значения , при которых прямые и пересекаются.

Решение. Из уравнений прямых находим , , , , . Условие пересечения прямых запишем в координатной форме , откуда .

Пример 5. Проверить, лежат ли прямые и в одной плоскости.

Решение. Из уравнения прямых находим , , , , тогда . Если прямые лежат в одной плоскости, то векторы компланарны, значит . Для проверки этого условия запишем его в координатной форме:

, следовательно прямые не лежат в одной плоскости, т. е. скрещиваются.

Пример 6. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку и пересекает две прямые и .

Решение. Из условия находим , , , , тогда , .

Обозначим – направляющий вектор искомой прямой. Будем искать уравнение в виде . Запишем условие пересечения двух прямых: и , откуда для нахождения получаем систему

Так как число уравнений меньше числа неизвестных, то разделим уравнения, например, на : Решая эту систему относительно неизвестных и , найдем , или .

Итак, . Канонические уравнения искомой прямой: .

Пример 7. Найти точку пересечения прямой с плоскостью .

Решение. Можно было бы от канонических уравнений прямой перейти к общему: или а затем найти точку пересечения трех плоскостей. Рациональней другой путь. Перейдем к параметрическим уравнениям прямой: , , . Подставим эти выражения для в уравнение плоскости: , откуда . Тогда , , .