Экзаменационные задачи по курсу Высшая алгебра. Часть 1

1. Найти матрицу A* оператора сопряженного к линейному оператору A по заданной матрице оператора A и матрице Грамма Г:

А) : ; б) : .

2. Найти матрицу A* оператора сопряженного к линейному оператору A по заданной матрице оператора A и скалярному произведению:

А) , ;

Б) , ;

В) , .

3. Оператор переводит векторы A1, A2, в векторы B1, B2, соответственно. Найти оператор A*, если базис в котором заданы , - ортонормирован:

А) ; ;

Б) ; .

4. Оператор задан матрицей в базисе F1, F2, где F1 = E1 + E2, F2 = E1 – Ie2. Найти A* в том же базисе.

5. Оператор задан матрицей в базисе , где . Найти в том же базисе.

6. В евклидовом пространстве полиномов степени не выше 2 со скалярным произведением (здесь и коэффициенты полиномов P и Q при ) задан оператор . Найти в следующих базисах:

а) ; б) .

7. В евклидовом пространстве полиномов степени не выше 2 со скалярным произведением задан оператор . Найти в следующих базисах: а) ; б) .

8. Пусть в унитарном пространстве дифференцируемых и периодичных с периодом функций, скалярное произведение имеет вид: . Доказать, что оператор - эрмитов.

9. Установить является ли оператор самосопряженным, если оператор задан матрицей в базисе с матрицей Грамма :

А) ; б) ;

В) .

10. Оператор задан матрицей в базисе с матрицей Грамма . Будет ли оператор - эрмитовым?

11. Установить, является ли ортогональным оператор , действующий на векторы ортонормированного базиса по формулам:

А) ; б) .

12. Установить, является ли оператор унитарным, если действует на векторы ортонормированного базиса по формулам:

13. Установить, является ли ортогональным линейный оператор, заданный в ортонормированном базисе матрицей:

14. Установить, является ли ортогональным оператор , если он задан матрицей в базисе , а векторы выражаются через векторы ортонормированного базиса :

А) ;

Б) ;

В) .

15. Построить собственный ортонормированный базис самосопряженного оператора, который, в некотором ортонормированном базисе, задан матрицей:

А) ; б) .

16. Построить собственный ортонормированный базис эрмитового оператора, который, в некотором ортонормированном базисе, задан матрицей:

А) ; б) ; в) .

17. Построить собственный ортонормированный базис унитарного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:

А) ; б) ; в) .

18. Привести матрицу к диагональному виду.

19. Найти:

А) , ; б) , ; в) , ;

Г) , ; д) , ; е) , .

20. Установить, являются ли следующие квадратичные формы положительно определенными:

А) ;

Б) .

21. Установить, при каких следующие квадратичные формы являются положительно определенными:

А) ;

Б) .

22. Найти ортонормированный базис, в котором следующие квадратичные формы (заданные тоже в ортонормированном базисе) имеют диагональный вид:

А) ;

Б) .

23. Привести следующие квадратичные формы к нормальному виду:

А) ;

Б) ;

В) .

24. С помощью одного преобразования привести пару форм к каноническому виду:

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) ;

Д) ;

Е) .

25. Найти базис, взаимный к данному:

А) ;

Б) .

26. Вектор задан своими координатами в том же базисе, в котором заданы координаты векторов двух взаимных базисов: и . Найти ковариантные и контравариантные координаты вектора .

27. Доказать инвариантность свойства антисимметрии тензора второго ранга .

28. Используя тензорную форму записи проверить тождества:

А) ;

Б) .

29. Используя тензорную форму записи, вычислить:

А) ; б) ; в) ; г) ;

Д) ; е) ; ж) ; з) .

(здесь - постоянные векторы, - радиус вектор).

30. Используя тензорную форму записи, доказать тождества:

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) .

(здесь - векторные поля, - скалярное поле).

31. Вычислить (используя интегральные теоремы тензорного исчисления) , где - постоянные векторы, - орт нормали к поверхности , которая ограничивает объем .