01.06. Следствия из аксиом линейного пространства

1°. Нулевой (нейтральный) элемент пространства единственен.

◀ Пусть имеется два нулевых элемента q1 и q2. Тогда

1. x ⊕ q1 = X (Положим в этом равенстве X = q2) . Получим q2 ⊕ q1 = q2 .

2. X ⊕ q2 = X (Аналогично положим X = q1) . Получим q1 ⊕ q2 = q1 . У равенств полученных в первой и во второй строках левые части равны, следовательно, правые части также равны Þ q2 = q1. ▶

2°. Противоположный вектор к вектору X единственен.

◀ Пусть Y и z - элементы противоположные X. Тогда

Y = y ⊕ q =Y ⊕ ( x ⊕ z) = (Y ⊕ x) ⊕ z = Q ⊕ z = z; Þ Y = z. ▶

3°. 0⊙X = Q.

◀ 0⊙X ⊕ Y = 0⊙X ⊕ Y ⊕ q = 0⊙X ⊕ Y ⊕ X ⊕(– X) = (0 + 1)⊙X ⊕(– X) ⊕ Y =

= X ⊕ (– x) ⊕ y = q ⊕ Y = y, т. е. 0⊙X ⊕ y = y Þ 0⊙X = q. ▶

4°. "X (–1)⊙ X – его противоположный элемент.

◀ X ⊕ (–1)⊙X = 1⊙X ⊕ (–1)⊙X = (1 – 1)⊙X = 0⊙X = Q. ▶

5°. a⊙q = q.

◀ a⊙q = a⊙(q ⊕ q) = a⊙q ⊕ a⊙q. Прибавим к левой и правой части элемент противоположный a⊙q, т. е. (– a⊙q). Получим в левой части a⊙q ⊕(– a⊙q) = q, а в правой части a⊙q ⊕ a⊙q ⊕(– a⊙q) = a⊙q ⊕ q = a⊙q. Следовательно a⊙q = q. ▶

6°. Если a ⊙ Х = q, то a = 0 или x = Q.

◀ Если a = 0, то равенство выполнено (см. 3°).

Если a ¹ 0, то X = 1⊙X= ⊙X = ⊙(a⊙X) = ⊙q = q, т. е. x = q. ▶

Замечание: В дальнейшем, если это не будет приводить к недоразумениям, будем пользоваться знаком + вместо ⊕, а знак ⊙ будем опускать.

< Предыдущая		Следующая >