6. Линейных алгебраических уравнений

Все системы линейных уравнений подразделяются на несколько групп:

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной;

Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной;

Система, имеющая единственное решение, называется определенной;

Система, имеющая более одного решения, называется неопределенной.

Поэтому прежде чем переходить к решению системы, мы должны определить, к какому виду относится система.

Таким образом, решить систему - это значит выяснить, совместна она или нет, и в случае совместности найти все ее решения (множество решений).

Рассмотрим несколько примеров.

Пример № 1. Данная система

Имеет единственное решение (3/2; − 1/8) и, следовательно, она является совместной и определенной.

Пример № 2. Данная система, состоящая из одного уравнения

,

Является совместной, но неопределенной. Так как положив, например, x1 = c1, х2 = с2, где c1 и с2 − произвольные числа, из данного уравнения находим, что х3 = 4 − 2c1 + 3с2. Таким образом, множество решений данной системы бесконечно и имеет вид: {(с1; с2; 4−2с1 +3с2) | "с1, с2 ÎR}.

Пример № 3. Данная система

Является несовместной, так как не имеет решения.

В качестве критерия для определения совместности системы, нужно использовать теорему Кронекера-Капелли.

Теорема 1. Для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы (т. е. если , то система несовместна).

Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Если все миноры матрицы равны нулю, то ранг матрицы считается равным нулю. Ранг матрицы будем обозначать r.

Необходимы также следующие теоремы:

Теорема 2. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение (т. е. ).

Теорема 3. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то множество решений системы бесконечно (т. е. ).

< Предыдущая		Следующая >