32. Примеры игр

Рассмотрим несколько примеров формализации игровых или конфликтных ситуаций в виде игр.

Пример 3.1. Игроки A И B Выбирают одну из двух сторон монеты и одновременно показывают друг другу. Если выбранные стороны монет совпали, т. е. обе монеты показываются гербом или решкой, то игрок A Выигрывает монету игрока B. В противном случае игрок A проигрывает свою монету игроку B. Матрица игры может быть записана следующим образом:

Стратегии игроков	Игрок B
Решка	Герб
Игрок A	Решка	1	-1
Герб	-1	1

В этой игре первые стратегии обоих игроков состоят в выборе и предъявлении решки, а вторые стратегии - в выборе и предъявлении герба. Если оба игрока выбрали одинаковые стратегии, то выигрывает первый игрок, если игроки выбрали разные стратегии, то выигрывает второй игрок.

Пример 3.2. Формализация конфликтной ситуации между двумя фирмами в виде матричной игры.

Пусть на некотором рынке программного обеспечения действуют две сильные фирмы A И B, Которые ведут разработку разнообразных программных продуктов параллельно. Разрабатываемые программные продукты могут получаться хорошего качества (Х) и не очень удачными (Н). Пусть в каждую свою разработку первоначально фирмы вкладывают по A Единиц денежных средств. Предположим для простоты также, что вопрос пустить в продажу программный продукт или вложить в него дополнительные средства в размере B Единиц денежных средств всегда первой решает фирма A. Если фирма A Пускает в продажу свой программный продукт, то фирма B также это делает немедленно. При этом та фирма, которая имеет лучшее программное обеспечение, получает от продажи 2A Единиц денежных средств, а вторая фирма не получает ничего. Если же программное обеспечение одного качества (у обеих фирм хорошее или неудачное), то каждая из фирм покрывает свои расходы, получая по A Единиц денежных средств за счет продажи своей продукции. Если фирма A Не пускает в продажу свое программное обеспечение, а вкладывает в него дополнительные средства, то у фирмы B Имеется в распоряжении две альтернативы:

- либо она отказывается от дальнейшей разработки и несет убытки в размере A единиц денежных средств, а фирма A после доработки своего программного обеспечения и продажи получает (2A + B) единиц денежных средств;

- либо фирма B Вкладывает дополнительные средства в размере B единиц и пускает после этого товар в продажу, после чего и фирма A Также вынуждена пустить свою разработку в продажу. Если у обеих фирм программные продукты одного качества, то фирмы окупают свои затраты на разработку, получая от продажи по (A + B) денежных единиц. Если же программные продукты разного качества, то фирма с лучшим программным обеспечением получает 2(A + B) единиц денежных средств, а вторая фирма не получает ничего. Все действия фирм можно выразить табл. 3.1, где фирма A является первым игроком в матричной игре, а фирма B – вторым.

Легко видеть, что фирма A Имеет 4 различные стратегические возможности. Первая из них – пустить в продажу, если у нее имеется хорошее программное обеспечение, и пустить в продажу не очень удачное программное обеспечение. Сокращенно это записывается как "продажа - продажа". Другие стратегические возможности фирмы A: "продажа - дополнительные средства", "дополнительные средства - продажа", "дополнительные средства - дополнительные средства". Аналогично и фирма B имеет 4 стратегии, которые подробно описаны в табл. 3.1.

Рассмотрим действия фирм, когда фирма A Выбрала свою первую стратегию "продажа - продажа", а фирма B - свою первую стратегию "продажа, если продает фирма A ¼ – продажа, если продает фирма A ¼". В случае, если обеими фирмами создано хорошее программное обеспечение (Х, Х), обе фирмы компенсируют свои расходы на разработку за счет продажи программных продуктов. Тоже происходит и в случае не очень удачных программных продуктов (Н, Н). В случае если фирма A Имеет лучший программный продукт, чем фирма B (Х, Н), то она получает от продажи 2A Единиц денежных средств, а фирма B несет убытки в размере "-A" единиц. В случае, если фирма B Имеет лучший программный продукт (Н, Х), то она получает от продажи 2A Единиц денежных средств, а фирма A несет убытки в размере "-A" единиц.

Таблица 3.1

Хорошее ПО		Продажа, если продает фирма A, и отказ от дальнейших разработок, если фирма A вкладывает дополнитель-ные средства.	Продажа, если продает фирма A, и отказ от дальнейших разработок, если фирма A вкладывает дополнитель-ные средства.	Продажа, если продает фирма A, и вложение дополнитель-ных средств, если фирма A вкладывает дополнитель-ные средства.	Продажа, если продает фирма A, и вложение дополнитель-ных средств, если фирма A вкладывает дополнитель-ные средства.
Неудачное ПО	Продажа, если продает фирма A, и отказ от дальнейших разработок, если фирма A вкладывает дополнитель-ные средства.	Продажа, если продает фирма A, и вложение дополнитель-ных средств, если фирма A вкладывает дополнитель-ные средства.	Продажа, если продает фирма A, и отказ от дальнейших разработок, если фирма A вкладывает дополнитель-ные средства.	Продажа, если продает фирма A, и вложение дополнитель-ных средств, если фирма A вкладывает дополнитель-ные средства.
Продажа	Продажа	0	0	0	0
Продажа	Дополн. средства	3A/4	2A/4	(A - B)/4	-B/4
Дополн. средства	Продажа	A/4	(A + B)/4	0	B/4
Дополн. средства	Дополн. средства	A	(3A + B)/4	(A - B)/4	0

Будем считать, что вероятность появления любой из четырех описанных ситуаций равна 0,25, тогда средний выигрыш фирм при многократном повторении ситуации будет равен нулю:

A11= 0,25((-ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =
= 0,25((-A + a) + (-A + a) + (-A + 2A) + (-A + 0)) = 0,

 

Где ЗХХ, ЗНН, ЗХН, ЗНХ - соответственно затраты фирмы A при создании программных продуктов качества (Х, Х), (Н, Н), (Х, Н), (Н, Х);

ПХХ, ПНН, ПХН, ПНХ - соответственно денежные средства фирмы A от продажи товара при создании программных продуктов качества (Х, Х), (Н, Н), (Х, Н), (Н, Х).

При расчете элементов A12, A13, A14 аналогично получаем, что A11 = A12 = = A13 = A14 = 0. Рассмотрим расчет остальных элементов таблицы:

A21= 0,25((-ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =
= 0,25((-A + a) + (-(A + B)+ (2A + B)) + (-A + 2A) + (-(A + B)+ (2A + B)) = 0,75A;

A22= 0,25((-ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =
= 0,25((-A +a) + (-(A + B)+ (A + B)) + (-A + 2A) + (-(A + B)+ (2A + B)) = 0,5A;

A23= 0,25((-ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =
= 0,25((-A +a) + (-(A + B)+ (2A + B)) + (-A + 2A) + (-(A + B)+ 0) = 0,25(A - b);

A24= 0,25((-ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =
= 0,25((-A +a) + (-(A + B)+ (A + B)) + (-A + 2A) + (-(A + B)+ 0) = -0,25 b;

A31= 0,25((-ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =
= 0,25(-(A + B)+ (2A + B)) + (-A+ A) + (-(A + B)+ (2A + B)) + (-A +0) = 0,25 A;

A32= 0,25((-ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =
= 0,25(-(A + B)+ (2A + B)) + (-A+ A) + (-(A + B)+ 2(A + B)) + (-A +0) =

= 0,25(A + b);

A33= 0,25((-ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =
= 0,25(-(A + B)+ (A + B)) + (-A+ A) + (-(A + B)+ (2A + B)) + (-A +0) = 0;

A34= 0,25((-ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =

= 0,25(-(A + B)+ (A + B)) + (-A+ A) + (-(A + B)+ 2(A + B)) + (-A +0) = 0,25B;

A41= 0,25((-ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =

= 0,25(-(A + B)+ (2A + B)) + (-(A + B)+ (2A + B)) + (-(A + B)+ (2A + B)) +

+ (-(A + B)+(2A + B)) = A;

A42= 0,25((-ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =

= 0,25(-(A + B)+ (2A + B)) + (-(A + B)+ (A + B)) + (-(A + B)+ 2(A + B)) +

+ (-(A + B)+ (2A + B)) = 0,25(3A + b);

A43= 0,25((-ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =

= 0,25(-(A + B)+ (A + B)) + (-(A + B)+ (2A + B)) + (-(A + B)+ (2A + B)) +

+ (-(A + B) + 0) = 0,25(A - b);

A44 = 0,25((-ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =

= 0,25(-(A + B)+ (A + B)) + (-(A + B)+ (A + B)) + (-(A + B)+ 2(A + B)) +

+ (- (A + B) + 0) = 0.

Для первого игрока матрица игры является матрицей выигрышей, поэтому анализ первой и третьей стратегий первого игрока показывает, что третья стратегия лучше первой стратегии. Действительно, сравнивая элементы первой и третьей строк матрицы в соответствующих столбцах, имеем: 0 < A/4; 0 < (A + B)/4; 0 = 0; 0 < B/4. Таким образом, только при третьей стратегии второго игрока первая и третья стратегии первого игрока равноценны. Во всех остальных случаях первая стратегия уступает третьей, поскольку в отличие от третьей стратегии она не приносит выигрышей первому игроку, т. е. применять первую стратегию первому игроку невыгодно. Аналогично, четвертая стратегия первого игрока превосходит его вторую стратегию. Следовательно, и вторую стратегию первому игроку применять нет смысла. Таким образом, число применяемых стратегий первого игрока уменьшается до двух, поэтому исходную матричную игру размерами 4 × 4 можно преобразовать к игре размерами 2 × 4 (табл. 3.2):

Для второго игрока матрица игры является матрицей проигрышей, поэтому нетрудно видеть, что первая стратегия второго игрока хуже третьей стратегии, а вторая стратегия - четвертой, поскольку элементы соответственно третьего и четвертого столбцов матрицы меньше соответствующих элементов первого и второго столбцов, поэтому применять первую и вторую стратегию второму игроку нет смысла. Следовательно, решение рассматриваемой игры может быть сведено к решению матричной игры 2 ´ 2:

0	B/4
(A - B)/4	0

Таблица 3.2.

Хорошее ПО		Продажа, если продает фирма A, и отказ от дальнейших разработок, если фирма A вкладывает дополнитель-ные средства.	Продажа, если продает фирма A, и отказ от дальнейших разработок, если фирма A вкладывает дополнитель-ные средства.	Продажа, если продает фирма A, и вложение дополнитель-ных средств, если фирма A вкладывает дополнитель-ные средства.	Продажа, если продает фирма A, и вложение дополнитель-ных средств, если фирма A вкладывает дополнитель-ные средства.
Неудачное ПО	Продажа, если продает фирма A, и отказ от дальнейших разработок, если фирма A вкладывает дополнитель-ные средства.	Продажа, если продает фирма A, и вложение дополнитель-ных средств, если фирма A вкладывает дополнитель-ные средства.	Продажа, если продает фирма A, и отказ от дальнейших разработок, если фирма A вкладывает дополнитель-ные средства.	Продажа, если продает фирма A, и вложение дополнитель-ных средств, если фирма A вкладывает дополнитель-ные средства.
Дополн. средства	Продажа	A/4	(A + B)/4	0	B/4
Дополн. средства	Дополн. средства	A	(3A + B)/4	(A - B)/4	0

Пример 3.3. Игра Бореля. Игра Бореля предложена выдающимся французским математиком в 1921 году. В этой игре два игрока A, B Выбирают по три неотрицательных числа, сумма которых равна единице, а именно:

И располагают их в определенном порядке. Игрок A Или B Выигрывает, если два выбранных ими числа больше соответствующих чисел противника.

Два обобщения игры Бореля

При первом обобщении игроки выбирают по N Неотрицательных чисел, удовлетворяющих условиям

(3.1)

И располагают их в определенном порядке, выигрывает игрок, у которого большее число чисел превосходит числа другого игрока.

При втором обобщении также выбираются по N Неотрицательных чисел, удовлетворяющих условиям (3.1), но при этом выигрывает игрок, у которого больше сумма, определяемая выражениями:

Где F - Заданная функция.

Игра Бореля может стать игрой на разорение.

Играми на разорение называются многошаговые игры, в которых каждый игрок, начиная игру, имеет ограниченные ресурсы и с каждым шагом или партией ресурсы проигравшего игрока уменьшаются, например, на единицу, на цену игры или на значение, которое вычисляется каким-либо иным способом.

Игра на разорение может быть сформулирована как Игра на выигрыш, если считать, что игроки начинают игру с нулевыми ресурсами, а затем на каждом шаге ресурсы выигравшего игрока увеличиваются на единицу или на цену сыгранной партии, или на значение, которое вычисляется каким-либо иным способом.

< Предыдущая		Следующая >