31. Введение в теорию игр. Матричные игры. Основные понятия и определения теории игр

Теория игр - раздел математики, изучающий методы принятия решений в конфликтных ситуациях.

Игра - математическая модель конфликтной ситуации, в которой определены участники конфликта (игроки), их возможные действия (стратегии), получаемая ими информация, условия окончания игры и правила изменения заинтересованности каждого игрока.

Партия игры - случай разыгрывания игры некоторым конкретным образом от начала до конца.

В настоящее время нет общепризнанной классификации игр, но можно отметить несколько основных направлений, используемых для классификации игр: число игроков и стратегий, характер взаимоотношения игроков, число ходов, характер и вид функций выигрышей и т. д.

В зависимости от числа игроков различают игры двух и N Игроков. Наибольшее распространение получили игры двух игроков. Они наиболее исследованы и широко применяются на практике. Игры N Игроков менее исследованы и применяются реже, поскольку их решение существенно сложнее, чем игр двух игроков, причем трудности решения игр возрастают с ростом числа игроков.

По числу стратегий все игры можно разделить на конечные и бесконечные. Игра называется конечной, если каждый из игроков имеет конечное число стратегий. В противном случае игра называется бесконечной.

По характеру взаимоотношения игроков различают коалиционные, кооперативные и бескоалиционные игры. Если в процессе игры игроки могут вступать в соглашения и образовывать коалиции, то такая игра называется коалиционной. Если коалиции определены заранее, то игры называются кооперативными. Если в процессе игры игроки не могут вступать в соглашения и образовывать коалиции, то такие игры называются бескоалиционными.

В зависимости от числа ходов игры делятся на одношаговые и многошаговые. Игра называется одношаговой, если каждый из игроков делает по одному шагу. Если хотя бы один из игроков делает более одного шага, то игра называется многошаговой.

По характеру выигрышей игры делят на игры с нулевой суммой и игры с ненулевой суммой. Если сумма выигрышей всех игроков в каждой партии равна нулю, то игра называется игрой с нулевой суммой. В такой игре сумма общего капитала всех игроков остается неизменной и в зависимости от исхода партии он перераспределяется между игроками. Таким образом, в играх с нулевой суммой выигрыши одних игроков оборачиваются потерями других игроков. В случае игры двух игроков их цели становятся диаметрально противоположными, поскольку выигрыш одного игрока равен проигрышу другого игрока. Такие игры двух игроков с нулевой суммой называют антагонистическими. Многие политические, военные и экономические ситуации математически можно описывать как игры с нулевой суммой.

В играх с ненулевой суммой общий капитал всех игроков меняется в процессе игры, поэтому все игроки могут быть в выигрыше. Примером таких игр могут быть игры, моделирующие взаимовыгодные торговые отношения между странами.

По виду функций выигрышей различают следующие виды игр: матричные, биматричные, выпуклые, непрерывные и т. д.

Матричная игра - это конечная одношаговая антагонистическая игра двух игроков, в которой выигрыши первого игрока задаются с помощью матрицы размерностью N ´ M, где N - число строк и стратегий первого игрока; M - число столбцов и стратегий второго игрока. Каждой паре стратегий (I, J) соответственно первого и второго игроков поставлено в соответствие число Aij, которое является выигрышем первого игрока за счет второго, если Aij > 0. Если Aij < 0, то при данной паре стратегий выигрывает второй игрок. Указанная матрица называется матрицей игры или платежной матрицей. Матричную игру с матрицей N × M часто называют игрой N × M.

Биматричная игра - это конечная одношаговая бескоалиционная неантагонистическая игра двух игроков, в которой выигрыши каждого игрока задаются с помощью отдельной матрицы размерностью N ´ M, где N - число строк и стратегий первого игрока; M - число столбцов и стратегий второго игрока.

Непрерывная игра - это бесконечная игра с непрерывными функциями выигрышей каждого из игроков, стратегиями которых обычно являются числа из определенного интервала. Если функции выигрышей в игре являются не только непрерывными, но и выпуклыми, то такая игра называется выпуклой.

< Предыдущая		Следующая >