5.4. Спряжений оператор

Розглянемо неперервний лінійний оператор , який відображає
в . Нехай , тобто лінійний неперервний функціонал, який діє на . Застосуємо до елемента . Тоді є лінійним неперервним функціоналом на . Позначимо його через . Таким чином . Отже виходить, що кожному поставлено у відповідність функціонал , тобто отримано деякий оператор, який відображає і . Цей оператор називається Спряженим до оператора і позначається .

Позначимо значення функціоналу на елементі символом , а значення на – . Тоді одержимо або, оскільки , маємо

. (5.4)

У випадку гільбертового простору будь-який функціонал має вид (теорема 4.2)), де за мають на увазі скалярний добуток. Тому рівняння (5.4) для гільбертового простору може слугувати визначаючим для опера-
тора .

Розглянемо скінченновимірний випадок із прикладу 5.3, де описується матрицею, транспонованою до матриці .

Справедливі наступні властивості:

1) оператор лінійний;

2);

3).

Припустимо, що і є гільбертовим простором, тоді

4).

Теорема 5.8. Нехай і – банахові простори. Тоді

.

Лема 5.1. (про анулятор ядра оператора). Нехай – лінійний неперервний оператор, який відображає на , і – банахові простори. Тоді

^.

Нехай є гільбертовим простором. Обмежений оператор , який діє в , називається Самоспряженим, якщо, тобто

, .

< Предыдущая		Следующая >