19. Сложение вероятностей

Вероятность суммы несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий:

. (17.1)

Пример 17.1. В ходе исследования потребительского рынка проводили опрос потребителей. В частности, один из вопросов касался сорта зубной пасты, которую использует потребитель. Если известно, что 14% населения использует сорт A, а 9% – сорт B, то чему равна вероятность того, что случайно выбранный человек будет использовать одну из двух паст. (Предполагается, что в данный момент человек использует только одну пасту).

Решение. Пусть A – событие, состоящее в том, что выбранный человек использует пасту сорта A, а B – событие, состоящее в том, что выбранный человек использует пасту сорта B. Поскольку события A и B несовместные по условию задачи, то, используя теорему сложения вероятностей (2.2), получим

.

Пример 17.2. Из колоды в 36 карт наугад вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

Решение. Введем следующие события: B={появление хотя бы одного туза}, A1={появление одного туза}, A2={появление двух тузов}, A3={появление трех тузов}. Очевидно, что B=A1+A2+A3. Поскольку события A1, A2 и A3.несовместны, то

P(B) = P(A1)+P(A2)+P(A3) =

Вероятность суммы совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

. (17.2)

Пример 17.3. Вероятность того, что покупатель, собирающийся приобрести компьютер и пакет прикладных программ, приобретет только компьютер, равна 0,15. Вероятность того, что покупатель купит только пакет программ, равна 0,1. Вероятность того, что будут куплены и компьютер и пакет программ, равна 0,05. Чему равна вероятность того, что будут куплены или компьютер, или пакет программ, или компьютер и пакет программ вместе?

Решение. Пусть A – событие того, что покупатель приобретет компьютер, B – событие того, что покупатель приобретет пакет программ, тогда AB – событие того, что покупатель приобретет и компьютер, и пакет программ. Следовательно, вероятность того, что будут куплены или компьютер, или пакет программ, или компьютер и пакет программ вместе, будет равна

.

Пример 17.3. Два стрелка делают одновременно по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,7. Какова вероятность поражения цели?

Решение. Пусть A1={первый стрелок попал по цели}, A2={второй стрелок попал по цели}. Мишень будет поражена (событие В), если произойдет событие А1+А2. Поскольку события А1 и А2 совместны, но независимы, то

P(А1+А2) = P(А1)+P(А2)–P(А1)P(А2) = 0,7+0,8–0,7×0,8 = 0,94.

Отметим, что событие В можно записать также в виде . Тогда получим

P(B) = P(A1)P()+P()P(A2)+P(A1)P(A2) = 0,8×0,3+0,2×0,7+0,7×0,8 = 0,94.

Пример 17.4. Дана электрическая цепь:

Вероятность выхода из строя элемента А равна 0,1, элемента В – 0,2, элемента С – 0,3. Найти вероятность разрыва цепи.

Решение. В данном случае разрыв цепи произойдет только тогда, когда выйдет из строя элемент А, или сразу два элемента В и С. При помощи алгебры событий разрыв цепи можно описать следующим образом: . Поскольку эти события совместные и независимые, то получим

= .

Упражнения

17.1. Предположим, что 25% населения живёт в области, охваченной коммерческим TV, рекламирующим новые модели автомобилей некоторой фирмы; 34% населения охвачено коммерческим радио, рекламирующим продукцию той же фирмы. Также известно, что 10% населения охвачено коммерческим и радио и телевидением. Если случайно отобрать человека, живущим в данной области, то чему будет равна вероятность того, что он знаком хотя бы с одной из рекламных передач фирмы?

Ответ. 0,25+0,34–0,1=0,49.

17.2. В большом универмаге установлен скрытый "электронный глаз" для подсчета числа входящих покупателей. Когда два покупателя входят в магазин вместе и один идет перед другим, то первый из них будет учтен электронным устройством с вероятностью 0,98, второй – с вероятностью 0,94, а оба – с вероятностью 0,93. Чему равна вероятность того, что устройство сканирует по крайне мере одного из двух входящих вместе покупателей.

Ответ. 0,98+0,93–0,98×0,93=0,9986.

17.3. Девушка забыла последнюю цифру телефонного номера своего жениха и набрала её наугад. Какова вероятность того, что ей понадобится набирать номер не более трёх раз? Рассмотреть случай блондинки и брюнетки. (Блондинка не помнит какую цифру она набирала перед этим, а брюнетка помнит.)

Ответ. Случай блондинки: ;

Случай брюнетки: .

< Предыдущая		Следующая >