Интервал
Zj
1
0;0.619
0
2
0.619; 0.708
5
3
0.708; 0.963
10
4
0.963; 1.000
15
Z=0 Z=5 Z=10 Z=15
|
Замечание. Поскольку в табл. 5.4 даны только 2 знака мантиссы, значения границ интервалов округлили до трех знаков после запятой.
Приступая к моделированию h, возьмем первое число из табл. Д Приложения. Для того, чтобы начало было случайным, воспользуемся днем рождения решающего задачу. Допустим, он родился 9 марта. Поэтому начнем с 9-й строки 3-го столбца. Это число 67, следовательно, R1 = 0.67, оно принадлежит второму интервалу 
, поэтому Х1 = 5. Таким образом, найдена стоимость ремонта первого прибора. Аналогично моделируются стоимости остальных приборов. Далее случайные числа будем выбирать двигаясь, например, по строкам влево или вправо. Второе число 43, т. е. R2 = 0.43, оно из интервала 
, поэтому Х2=0. Сведем процесс нахождения реализаций h в табл. 5.5.
Таблица 5.5
|
J |
Rj |
Интервал |
Zj |
J |
Rj |
Интервал |
Zj |
|
1 |
0.67 |
0.619;0.708 |
5 |
13 |
0.35 |
0;0.619 |
0 |
|
2 |
0.43 |
0;0.619 |
0 |
14 |
0.98 |
0.965;1.000 |
15 |
|
3 |
0.97 |
0.963;1.000 |
15 |
15 |
0.95 |
0.708;0.963 |
10 |
|
4 |
0.04 |
0;0.619 |
0 |
16 |
0.11 |
0;0.619 |
0 |
|
5 |
0.43 |
0;0.619 |
0 |
17 |
0.68 |
0.6194;0.708 |
5 |
|
6 |
0.62 |
0.619;0.708 |
5 |
18 |
0.77 |
0.708;0.963 |
10 |
|
7 |
0.76 |
0.705;0.963 |
10 |
19 |
0.12 |
0;0.619 |
0 |
|
8 |
0.59 |
0;0.619 |
0 |
20 |
0.17 |
0;0.619 |
0 |
|
9 |
0.63 |
0.619;0.708 |
5 |
21 |
0.17 |
0;0.619 |
0 |
|
10 |
0.57 |
0;0.619 |
0 |
22 |
0.68 |
0.619;0.708 |
5 |
|
11 |
0.33 |
0;0.619 |
0 |
23 |
0.33 |
0;0.619 |
0 |
|
12 |
0.21 |
0;0.619 |
0 |
24 |
0.73 |
0.708;0.963 |
10 |
|
25 |
0.79 |
0.708;0.963 |
10 |
Найдем экспериментальный ряд распределения, для чего подсчитаем частоты Mi, равные числу приборов с данной стоимостью ремонта, т. е. числу появлений значений Хj, вычислим их относительные частоты, т. е. оценки вероятностей Р
= 
, и занесем результаты в табл. 5.6.
Таблица 5.6
|
Xi |
0 |
5 |
10 |
15 |
S |
|
Mi |
13 |
5 |
5 |
2 |
25 |
|
Р |
0.52 |
0.20 |
0.20 |
0.08 |
1.00 |
Найдем экспериментальную функцию распределения F*(Х)= 
:
F*(Х)=
.
Построим экспериментальные многоугольник распределения и функцию распределения (рис. 5.8). Для наглядности сравнения теоретической и экспериментальной кривых построим штриховыми линиями теоретические кривые.
Рис. 5.8
2. Найдем оценки числовых характеристик. Для вычисления оценок математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения воспользуемся формулами:
, (5.8)
Где K – число различных значений случайной величины;
(5.9)
Или
. (5.10)
Поскольку формулы (5.9) и (5.10) дают смещенную оценку дисперсии, несмещенную оценку найдем по формуле
. (5.11)
Замечание. При больших значениях N коэффициент 
очень близок к единице, и можно считать оценку, вычисленную по формулам (5.9) или (5.10), оценкой несмещенной дисперсии.
Вычисления запишем в табл. 5.7.
Таблица 5.7
|
Xi |
0 |
5 |
10 |
15 |
S | |
|
P |
0.52 |
0.20 |
0.20 |
0.08 |
1.00 | |
|
|
0 |
1.00 |
2.00 |
1.20 |
4.20 |
= M* |
|
|
0 |
5.00 |
20.00 |
18.00 |
43.00 |
|
|
17.64 |
| |||||
|
25.36 |
|
,
.
Сравнив полученные результаты с теоретическими (см. пример 5.5), видим, что экспериментальные характеристики отличаются от полученных из исходного ряда распределения. Для того чтобы получить более близкие результаты, следует существенно увеличить число реализаций случайной величины (например в два раза).
3. Проверим соответствие закона распределения полученной случайной величины F * (Х) заданному закону распределения F(X), используя критерий Пирсона.
Для этого определяется случайная величина
,
Где K – число значений случайной величины;
Mi – число появлений значений случайной величины h;
Pi – теоретическая вероятность значения;
N – объем моделируемой выборки (Npi – ожидаемое число появлений значения ХI при N реализациях случайной величины). Величина c2, называемая “хи-квадрат”, служит показателем того, насколько хорошо согласуются моделируемое и ожидаемое распределения.
В статистических расчетах число степеней свободы для дискретной случайной величины определяется как R = K – 
- 1, где K – число значений слу-чайной величины, – число параметров, которые были вычислены по результатам наблюдений.
Введем понятие «критическое значение» C =
следующим образом:
Если при проверяемой гипотезе вероятность события {χ2.>C} мала, Р(χ2.>С) = a, то С Называется «критическим значением», а a – «уровнем значимости» критерия χ2. Уровень значимости является вероятностью отвергнуть правильную гипотезу. Выбор его определяется решаемой задачей. Как правило, полагают a = 0.01 или a = 0.05, т. е. в одном или пяти случаях из ста может быть отвергнута правильная гипотеза. Критические значения в зависимости от объема выборки и уровня значимости приведены в табл. С Приложения А.
В рассматриваемой задаче число K = 4, поэтому число степеней свободы
R = 4 - 1 = 3. По указанной таблице найдем критические числа С1 (для a1 = 0.01) и С2 (для a2 = 0.05): ими будут С1 = 11,3 и С2 = 7,8.
Найдем значение χ2. Все вычисления выполним в таблице 5.8 (n = 25, значение NpI вычислим с точностью до одного знака после запятой) Таблица 5.8
|
I |
Хi |
Mi |
Npi |
Mi - Npi |
|
|
1 |
0 |
13 |
15.5 |
-2.5 |
0.403 |
|
2 |
5 |
5 |
2.2 |
2.8 |
3.536 |
|
3 |
10 |
5 |
6.4 |
-1.4 |
0.306 |
|
4 |
15 |
2 |
0.9 |
1.1 |
1.344 |
|
S |
- |
25 |
25.0 |
0.0 |
5.617=C2 |
При уровне значимости a2 = 0.05 событие {χ2 > C2} не произошло (5.617 < 7.8); полученное распределение не противоречит предполагаемому.
При менее жестких требованиях, т. е. при a = 0.01, событие { χ2>C1} тем более не произошло, и в этом случае можно считать, что гипотеза о распределении случайной величины с заданным законом распределения не противоречит смоделированным значениям случайной величины.
Пример 5.11. Из выборки в 15 элементов нормальной генеральной совокупности найдены оценки математического ожидания 
= -1.5 и несмещенной дисперсии S2= 1.21. Найти точность оценки математического ожидания и доверительный интервал, соответствующие доверительной вероятности b = 0.98.
Определить эти же величины для выборки в 40 элементов, если оценки оказались такими же.
Решение. Истинные математическое ожидание M и дисперсия 
2 данного нормального распределения не известны, поэтому воспользуемся формулами 
E = TB
иIB = (M*- e; M* + e) = 
,
где E – предельная ошибка,
IB – доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности b,
TB – значения квантиля распределения Стьюдента для числа степеней свободы K = n-1.
В данной задаче число степеней свободы K = 14, а доверительная вероятность b = 0,98. По таблице А Приложения значение квантилей распределения Стьюдента находится tb=2,62449. Тогда предельная ошибка e=2.62449
И доверительный интервал I0.98 =(-1.5-0.75;-1.5+0.75) =
=(-2.25; -0.75). Полученный результат позволяет утверждать, что с вероятностью 0.98 математическое ожидание рассматриваемой случайной величины принадлежит интервалу (-2.25;-0.75).
При выборке 40 элементов в связи с тем, что с увеличением числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному, воспользуемся формулами e
Zb для вычисления предельной ошибки оценки математического ожидания и IB = (M* - e; M* + e) =
= (M*-
ZB; m*+ZB) для вычисления доверительного интервала.
В этих формулах ZB находится как корень уравнения Ф(ZB) = 
по таблице значений нормированной функции распределения нормального закона (табл. В Приложения). ZB называется квантилью порядка нормированного нормального распределения.
Вычислив =
= 0.99, входим с этим значением функции в табл. В Приложения и находим её аргумент, равный 2,327.
Таким образом, точность оценки e=
, а доверительный интервал I0.98 = (-1.5–0.405; -1.5+0.405) = (-1.905; -1.045).
Заметим, что увеличение объема выборки существенно сузило доверительный интервал.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
