04. Основные типы функций принадлежности

Введенное выше формальное определение нечеткого множества не накладывает никаких ограничений на выбор вида функции для описания его функции принадлежности. Однако при практической работе с нечеткими множествами целесообразно выделить некоторые конкретные виды функций, аналитическое представление которых обеспечивает простоту и удобство выполнения операций над нечеткими множествами.

Кусочно-линейные функции принадлежности. Одним из наиболее простых типов функций принадлежности являются функции, которые, как следует из их названия, состоят из отрезков прямых линий. Типичными примерами таких функций являются "треугольная" (рис. 1.8) и "Трапециевидная" (рис. 1.9) функции принадлежности.

Рис. 1.8. График функций принадлежности треугольной формы

Треугольная функция принадлежности в общем случае может быть аналитически задана следующим выражением:

Рис. 1.9. График функций принадлежности трапециевидной формы

(1.14)

Где – некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядоченные отношением:

Для конкретной функции, изображенной на рис. 1.8, значения параметров следующие: Эта функция принадлежности порождает нормальное выпуклое унимодальное нечеткое множество с носителем – интервалом, , границами, , ядром и модой .

Трапециевидная функция принадлежности в общем случае может быть аналитически задана следующим выражением:

(1,15)

Где A, B, C, D – некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядоченные отношением:

Для конкретной функции, изображенной на рис. 1.9, значения параметров следующие: Эта функция принадлежности порождает нормальное выпуклое нечеткое множество с носителем – интервалом , границами и ядром. Понятно, что в частном случае, когда , трапециевидная функция принадлежности вырождается в треугольную.

-образные и -образные функции принадлежности. Эти функции принадлежности также получили свое название по виду кривых, которые представляют их графики.

-Образная функция принадлежности может быть задана аналитически, например, следующим выражением:

(1,16)

Где A, B – некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядоченные отношением: .

График этой функции для некоторого нечеткого множества и универсума изображен на рис. 1.10. -образная функция может быть также задана другим выражением:

(1,17)

Где A, B – произвольные действительные значения, упорядоченные отношением: а P – целое положительное число.

График этой функции для некоторого нечеткого множества и универсума изображен на рис. 1.11.

Рис. 1.10. График -образной функции принадлежности Для значений параметров A = 3, B = 6

Рис. 1.11. График -образной функции принадлежности для значений параметров A = 3, B = 6, P = 2

-образные функции принадлежности (1.16), (1.17) порождают нормальные выпуклые нечеткие множества с ядром и носителем .

-образная функция принадлежности может быть задана аналитически следующим выражением:

(1.18)

График этой функции для некоторого нечеткого множества и универсума изображен на рис. 1.12. S-образная функция принадлежности может быть также задана другим выражением:

(1,19)

Где A, B – некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядоченные отношением: А P – целое положительное число.

График этой функции для некоторого нечеткого множества и универсума изображен на рис. 1.13.

Рис. 1.12. График S-образной функции принадлежности для значений параметров A = 3, B = 6

Рис. 1.13. График S-образной функций принадлежности для значений параметров A = 3, B = 6, P = 2

S-образные функции принадлежности (1.18), (1.19) порождают

Нормальные выпуклые нечеткие множества с ядром и носителем . Заметим, что если в соотношениях (1.17), (1.19) параметр P = 1, то описываемые этими соотношениями функции становятся кусочно-линейными.

Более гибкое задание -образных и -образных функций принадлежности может быть получено с использованием функции вида

, (1.20)

Где B, C – числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения.

Эта функция при некоторых конкретных значениях B, C описывает так называемую Сигмоидальную функцию. Пусть, например, C = 0. Тогда

(1.21)

При этом если то полученная функция является -образной, если же, То это -образная функция принадлежности.

Графики функции (1.20) для некоторого нечеткого множества и универсума изображены на рис. 1.14, 1.15.

Рис. 1.14. График S-образной функции принадлежности для значений параметров ,

При этом -образной функции принадлежности соответствуют значения параметров , (рис. 1.14), а -образной функции принадлежности соответствуют значения параметров , (рис. 1.15).

Функции принадлежности (1.20) порождают нормальные выпуклые

Рис. 1.15. График Z-образной функции принадлежности для значений параметров ,

Нечеткие множества с носителем и границей R и точкой перехода .

Как уже указывалось, частными случаями - и -образных кривых являются Линейная -Образная функция и Линейная S-Образная функция.

При этом линейная -Образная функция в общем случае может быть задана аналитически следующим выражением:

(1.22)

График этой функции для некоторого нечеткого множества A и универсума изображен на рис. 1.16.

Рис. 1.16. График линейной -образной функции принадлежности для значений параметров A = 3, B = 6

Линейная -Образная функция в общем случае может быть задана аналитически следующим выражением:

(1.23)

Где A, B – некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядоченные отношением: A<B.

График этой функции для некоторого нечеткого множества A и универсума изображен на рис. 1.17.

Рис. 1.17. График линейной -образной функции принадлежности для значений параметров = 3, = 6

Эти функции принадлежности порождают нормальные выпуклые нечеткие множества с границами .

-образные функции принадлежности. К этому типу функций принадлежности можно отнести целый класс так называемых колоколообразных кривых.

Один из возможных способов задания -образной функции принадлежности состоит в использовании композиции -Образной и -Образной функций в соответствии с соотношением

, (1.24)

Где – некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядоченные отношением .

При этом могут быть использованы любые из рассмотренных вы-

Ше - и -образных функций. В частности, если использовать функции и , то получим -функцию , график которой для некоторого нечеткого множества и универсума изображен на рис. 1.18. При этом значения параметров для функции равны, а для функции соответственно .

Этот тип функций принадлежности порождает нормальные выпуклые нечеткие множества с носителем и ядром .

Другой пример композиционного формирования -образных функций – произведение двух сигмоидальных функций. Такая функция в общем случае может быть задана аналитически следующим выражением:

, (1.25)

Где – некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения, причем , , , и упорядоченные отношением: .

Рис. 1.18. График -образной функции принадлежности для значений параметров ,

На рис. 1.19 приведен график -образной функции, полученной в соответствии с (1.25) для .

Типичная некомпозиционная Колоколообразная функция задается аналитически следующим выражением:

, (1.26)

Рис. 1.19. График -образной функции принадлежности для значений параметров

Где – некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения, причем параметр .

Приведем еще один, наиболее простой, удобный, и поэтому часто применяемый способ формирования колоколообразной функции принадлежности с использованием гауссовой кривой:

. (1.27)

Здесь и – числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения, причем .

Функции принадлежности (1.26), (1.27) порождают нормальные выпуклые нечеткие множества.

Рис. 1.20. График -образной функций принадлежности для значений параметров

Наконец, асимметричная колоколообразная функция принадлежности может быть получена в соответствии с выражением

Рис. 1.21. График -образной функции принадлежности для значений параметров

Здесь

Где – действительные числа, причем , . На рис. 1.22 приведен график -образной функции принадлежности, определяемой по приведенной выше формуле, для .

Рис. 1.22. График -образной функции для

< Предыдущая		Следующая >