01. Введение в нечёткую математику

Впечатляющие и безупречные результаты практического применения классической ньютоновской механики привели к формированию принципа детерминизма при построении моделей явлений и объектов реального мира. Суть этого принципа с исчерпывающей ясностью сформулировал Пьер Симон Лаплас. Он писал: «Разум, который в каждый заданный момент времени знал бы все движущие силы природы, так же, как и относительное положение всех составляющих ее элементов, и, вдобавок, был бы столь объемлющим, чтобы подвергнуть анализу все эти данные, мог бы выразить единым соотношением как движение величайших тел мира, так и движение мельчайших атомов: ничто не осталось бы для него неизвестным, и он мог бы обозреть единым взглядом как будущее, так и прошлое». Еще более ортодоксальна позиция Рене Декарта: «Прошлое, настоящее и будущее жестко соединены между собой. Нужно лишь найти связывающую их правильную модель».

Возникновение принципиально иного взгляда на мир порождено теорией вероятностей, первоначальный интерес к которой вызван задачами, поставленными в азартных играх (задача кавалера де Маре). В переписке Паскаля и Ферма выкристаллизовались такие важнейшие понятия, как вероятность и математическое ожидание. Последующее бурное развитие теории вероятностей связано с потребностями естествознания и общественной практики (теория ошибок наблюдений, теория стрельбы, проблемы статистики, страхового дела, демографии и т. п.). Успехи теории вероятностей привели к крушению привычных представлений. Характерно высказывание Лиона Бриллюэна: «Отказ от детерминизма потребовал от многих ученых мучительной переоценки. Эта философия столетиями была основой научных исследований». Специфические возможности теории вероятностей для описания явлений и событий массового характера предопределили широкое и эффективное ее использование в физике, химии, экономике, технике, в задачах организации массового производства, в теории надежности. В результате всего этого к середине прошлого века умами специалистов владело убеждение, что существует только два объективно верных подхода к описанию явлений, процессов и объектов реальной действительности – детерминистский и вероятностный.

Традиционная рационалистская декартова методология восприятия мира сформировала концепцию, в соответствии с которой считается корректным использование таких терминов, как неясность, неопределенность, неточность только при качественном, поверхностном описании объектов ввиду отсутствия их однозначной и недвусмысленной трактовки. Однако в реальном мире постоянно возникает множество ситуаций, когда невозможно избежать или как-то обойти проблему учета неясной или неточной информации о событиях, явлениях, сведениях и т. д. Эта информация носит субъективный характер, и ее представление в естественном языке, как правило, содержит большое число терминов типа «много», «существенно лучше», «недостаточно эффективно» и т. п., которые не могут быть описаны языком традиционной математики. Вместе с тем неучет этой информации существенно обедняет математическую модель объекта, делая ее слишком грубой.

В связи с этим постепенно становилась все более ясной необходимость создания специфического математического аппарата для корректного учета не вполне четких, расплывчатых представлений и суждений людей о реальном мире. Первым шагом на этом пути следует считать основополагающую работу Лотфи Заде [28], которая была опубликована в 1965г., открывшую новое направление в прикладной математике, получившее название Теории нечетких множеств. Предложенная Л. Заде теория послужила основой для создания нового мировоззрения, а также технологии для анализа и представления неясных и неточных понятий, используемых в утверждениях о событиях и фактах для описания отношений между объектами реального мира. Эта теория сформировала непротиворечивую схему решения проблем, в которых субъективные суждения или интуитивные оценки играют значительную роль при учете факторов, вносящих неясность и неопределенность. Невозможно игнорировать то обстоятельство, что следует уметь распознавать такие объекты, как «множество Высокоразвитых стран», «множество Небогатых людей», «множество Больших чисел» и т. д. Лежащая в основе теории множеств технология предлагается в качестве средства математического моделирования неопределенных понятий, которыми оперирует человек при описании своих представлений о реальной системе, значений ее технических характеристик, цели ее функционирования и т. п. Нечеткое множество – это математическая модель классов объектов с нечеткими или, иначе, размытыми границами [4, 7]. Например, когда говорят о множестве красных, красно-желтых и желтых объектов, то введение четкой границы, отделяющей объекты одного цвета от объектов другого цвета, невозможно, поскольку переход от красного к желтому непрерывен. В связи с этим становится понятной необходимость учета постепенного перехода от принадлежности элемента множеству к непринадлежности ему. Другими словами, каждый элемент может иметь степень принадлежности множеству, промежуточную между полной принадлежностью и полной непринадлежностью. Теория нечетких множеств предоставляет конструктивную возможность учета таких реальных объектов.

Здесь следует обратить внимание на существование мнения о возможности успешного решения всех задач теории нечетких множеств (ТНМ) традиционными средствами теории вероятностей (ТВ). По этому поводу можно сказать следующее. Возникновение подобных критических суждений – удел всякой новой теории. Так было в связи с появлением матричного и тензорного исчислений, теории графов и вообще прикладной математики. Выдающийся современный математик А. Кофман говорит: «Возможно, критики теории нечетких множеств не понимают, где и как используется математика… Математика – это средство познания мира с помощью логических моделей, ее практическая сила состоит в способности давать объяснения… Теория нечетких множеств позволяет наилучшим образом объяснить и структурировать все то, что разделено не очень точными границами, например, мысль, язык, восприятие. Общественные науки наполнены всеми видами подобных абстрактных и конкретных форм, но и науки, называемые точными, могут иметь дело с ситуациями, в которых неопределенность заложена самой природой вещей» [10]. В этой же работе Кофман анализирует различия теории вероятностей и теории нечетких множеств на уровне аксиоматики. Вместе с тем можно привести ряд более общих соображений по поводу отличия теории нечетких множеств от теории вероятностей. Отметим некоторые из них.

Во-первых, теория вероятностей оперирует следующими категориями объектов: множество событий, носящих массовый повторяющийся характер (поток отказов, рождение и смерть живых организмов, число пассажиров на транспорте и т. п.); множество однородных объектов, обладающих некоторыми разными свойствами (множество студентов в потоке разного возраста, роста, веса); множество наблюдений за каким-либо конкретным объектом или их совокупностью (измерение температуры тела пациентов в больнице). При этом средствами ТВ вычисляются: вероятность наступления конкретных событий; вероятность попадания заданного числа объектов из некоторого их множества в заданное подмножество объектов с определенными свойствами; вероятность того, что конкретные наблюдаемые характеристики объектов окажутся в пределах некоторых заданных диапазонов. С другой стороны, в теории нечетких множеств обычно речь идет о единичных объектах (или о небольших их группах), относительно которых решается вопрос определения степени их принадлежности некоторому универсальному множеству (оно может содержать и бесконечное число элементов), или проблема выбора наилучшей альтернативы из множества нечетко заданных альтернатив.

Во-вторых, исчерпывающее описание случайных событий или случайных величин в ТВ дается с использованием соответствующих законов распределения или плотностей распределения вероятностей. В противоположность этому в ТНМ описание степени принадлежности нечетко заданного объекта множеству объектов задается функцией принадлежности, свойства которой радикально отличаются от свойств и законов и плотностей распределения вероятностей (например, функция принадлежности в ТНМ не нормирована; в частности, интеграл от функции принадлежности для непрерывной нечеткой величины, вообще говоря, не равен единице).

В-третьих, в ТВ речь идет о событиях, которые могут (или не могут) произойти в будущем. При этом вычисляются вероятности реализации некоторых интересующих исследователя событий или вероятности попадания некой случайной величины в заданный интервал. Напротив, в ТНМ либо исследуются события, которые уже произошли, и относительно них в этом случае устанавливается степень их принадлежности заданному множеству, либо эта степень принадлежности для каждого из изучаемых элементов множества декларируется заранее.

В прекрасно написанном учебном пособии [18] обсуждаются и другие отличия вероятностного и нечеткого подходов к формализации неопределенности (понятийная основа, возможность учета человеческого фактора, способы формирования операций, круг охватываемых прикладных задач). Отметим также работу [13], содержащую безупречную по простоте и ясности изложения теорию нечетких множеств и описание ее основных приложений. К настоящему моменту имеется очень много публикаций по теории нечетких множеств. К числу наиболее важных и доступных, помимо уже упомянутых [4, 7, 10, 13, 18, 28], следует отнести работы [1–3, 5, 6, 11, 12, 14, 16, 17, 24]. Тем не менее следует отметить, что не все вопросы теории нечетких множеств изучены исчерпывающим образом. Нуждаются в проработке и много нерешенных задач. В соответствии с этим цель настоящей работы состоит в следующем: во-первых, кратко изложить основы теории нечетких множеств; во-вторых, рассмотреть возможности использования этой теории при решении ряда конкретных задач. При этом, стремясь сделать эту книгу предельно компактной, авторы намеренно оставили в стороне многие, примыкающие к описанным в работе, модели теории нечетких множеств (например, основы нечеткой логики, системы нечеткого вывода, приложения к нейронным сетям), поскольку они детально и очень ясно изложены в работах [3, 11, 13, 24].

Учебник состоит из пяти разделов. В первом разделе рассматриваются базовые определения и основные характеристики нечетких множеств, вводятся типы функций принадлежности и методы их построения. Второй раздел посвящен операциям над нечеткими множествами, среди которых выделены операции равенства и доминирования нечетких множеств, унарные и бинарные операции, а также нечеткие операторы. В третьем разделе описываются нечеткие отношения. Внимание уделяется способам задания, основным характеристикам и операциям над нечеткими отношениями, излагаются вопросы, связанные со свойствами бинарных нечетких отношений. Материал четвертого раздела сосредоточен вокруг нечетких величин, нечетких чисел и нечетких интервалов, рассматриваются основные определения и операции. Пятый раздел посвящен нечеткому математическому программированию. В разделе рассматриваются различные постановки задач математического программирования с нечетко заданной информацией.

Следующая >