07. Условная вероятность. Обоснование формулы условной вероятности в общем случае

P(A/B)

Условной вероятностью наступления события A, при условии события B, называется вероятность наступления события A в результате испытаний, если известно, что в это испытании произошло событие B.

Вывод формулы условной вероятности для случая равновероятных элементарных событий

 

Действительно, в данном испытании произошло одно из t событий, входящих в B. Все элементарные события равновероятны, следовательно, для данного испытания вероятность наступления произвольного элементарного события, входящего в B равна 1/t. Тогда по классическому определению вероятности, в данном испытании событие A произойдет с вероятностью r/t.

В общем случае доказать эту формулировку невозможно, в теории вероятности она вводится как правило. Существует лишь толкование этой формулы.

Обоснование формулы условной вероятности в общем случае.

Пусть в nB испытаниях произошло событие B, а в nA испытаниях произошло событие A. Найдем условную частость наступления события A при условии, что произошло событие B. Мы можем сделать это для обоснования формулы, т. к. под вероятностью наступления события понимается предел частости наступления события при условии, что серия испытаний достаточно длинная.

Условная частость

Рассматривая AB как одно событие D имеем: с другой стороны

Рассмотрим систему событий A1, A2,...,Ak. Покажем, что вероятность их совместного наступления равна:

Доказательство проведем по мат индукции.

Формула равна для 2 и 3 (см. ранее)

Пусть формула верна для k-1.

Введем событие B.

P(A1A2...Ak-1)=P(B)

P(A1A2...Ak)=P(AkB)=P(B)×P(AkB)

< Предыдущая		Следующая >