9. Закон больших чисел

Следующие утверждения и теоремы составляют содержание группы законов, объединенных общим названием Закон больших чисел.

Лемма 1 (неравенство Маркова). Пусть Х — неотрицательная случайная величина, т. е. . Тогда для любого

,

Где М(Х) — математическое ожидание Х.

Следствие 1. Так как события и противоположные, то неравенство Маркова можно записать в виде

.

Пример 9.1. Оценить вероятность того, что в течение ближайшего дня потребность в воде в населенном пункте превысит 150 000 л, если среднесуточная потребность в ней составляет 50 000 л.

Решение. Используя неравенство Маркова в виде , получим .

Ответ: .

Пример 9.2. Среднее число солнечных дней в году для данной местности равно 90. Оценить вероятность того, что в течение года в этой местности будет не более 240 солнечных дней.

Решение. Согласно неравенству , имеем .

Ответ: .

Лемма 2 (неравенство Чебышева). Для любой случайной величины Х, имеющей конечную дисперсию и любого

.

Следствие 2. Для любой случайной величины Х С конечной дисперсией и любого

.

Пример 9.3. Длина изготавливаемых деталей является случайной величиной, среднее значение которой 50 мм. Среднеквадратичное отклонение этой величины равно 0,2 мм. Оценить вероятность того, что отклонение длины изготовленной детали от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдет 0,4 мм.

Решение. Для оценки вероятности используем неравенство Чебышева

,

.

Ответ: .

Пример 9.4. Среднесуточное потребление электроэнергии в населенном пункте равно 20 000 кВт/ч, а среднеквадратичное отклонение — 200 кВт/ч. Какого потребления электроэнергии в этом населенном пункте можно ожидать в ближайшие сутки с вероятностью, не меньшей 0,96?

Решение. Воспользуемся неравенством Чебышева . Подставим в правую часть неравенства вместо величину , сделаем ее большей или равной 0,96:

.

Следовательно, в этом населенном пункте можно ожидать с вероятностью не меньшей 0,96 потребление электроэнергии , т. е. .

Ответ: от 19 000 до 21 000.

Теорема Чебышева. Если последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями , ограниченными одной и той же постоянной , то какова бы ни была постоянная

.

При доказательстве предельного равенства используется неравенство

,

Которое вытекает из неравенства Чебышева.

Пример 9.5. За значение некоторой величины принимают среднеарифметическое достаточно большого числа ее измерений. Предполагая, что среднеквадратичное отклонение возможных результатов каждого измерения не превосходит 5 мм, оценить вероятность того, что при 1000 измерений неизвестной величины отклонение принятого значения от истинного по абсолютной величине не превзойдет 0,5 мм.

Решение. Воспользуемся неравенством

.

По условию , , Итак, искомая вероятность

Ответ:

Частными случаями теоремы Чебышева являются теоремы Бернулли и Пуассона.

Теорема Бернулли. При неограниченном увеличении числа независимых опытов частость появления Некоторого события А сходится по вероятности к его вероятности Р = Р(А):

,

Где — сколь угодно малое положительное число.

При доказательстве теоремы Бернулли получаем такую оценку

, которая применяется на практике.

Теорема Пуассона. Если производится Независимых опытов и вероятность появления события А в -м опыте равна , то при увеличинении Частость события А сходится по вероятности к среднеарифметическому вероятностей :

,

Где  — сколь угодно малое положительное число. При доказательстве этой теоремы используется неравенство

,

Имеющее практическое применение.

Пример 9.6. При контрольной проверке изготавливаемых приборов было установлено, что в среднем 15 шт. из 100 оказывается с теми или иными дефектами. Оценить вероятность того, что доля приборов с дефектами среди 400 изготовленных будет по абсолютной величине отличаться от математического ожидания этой доли не более чем на 0,05.

Решение. Воспользуемся неравенством

.

По условию , . В качестве Р возьмем величину, полученную при проверке для доли брака .

Итак, .

Ответ: .

Пример 9.7. Вероятность того, что изделие является качественным, равна 0,9. Сколько следует проверить изделий, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95 можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения доли качественных изделий от 0,9 не превысит 0,01?

Решение. Воспользуемся неравенством

.

По условию , , . Подставим в правую часть вышеприведенного неравенства эти значения

.

Ответ: .

< Предыдущая		Следующая >