7. Случайные величины. Дискретная случайная величина

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно из возможных значений, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Обозначают случайные величины буквами Х, Y, Z, а их возможные значения — Х, У, Z.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным, но счетным.

Дискретная случайная величина может быть задана рядом распределения — это соответствие между возможными значениями и их вероятностями:

Х			…
Р			…

, .

События образуют полную группу, следовательно, сумма вероятностей этих событий равна единице:

.

Ряд распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически в виде полигона или многоугольника распределения вероятностей. Для этого по горизонтальной оси в выбранном масштабе нужно отложить значения случайной величины, а по вертикальной — вероятности этих значений, тогда точки с координатами будут изображать полигон распределения вероятностей; соединив же эти точки отрезками прямой, получим Многоугольник распределения вероятностей.

Пример 7.1. Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения

Х	–2	–1	0	2	4
Р	0,1	0,2	0,3	0,2	0,2

Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей.

.

Решение. На оси Х откладываем значения , равные –2, –1, 0, 2, 4, а по вертикальной оси вероятности этих значений (рис. 7.1):

Рис. 7.1

Точки изображают полигон распределения, а ломаная  — многоугольник распределения вероятностей.

Дискретная случайная величина может быть задана функцией распределения. Функцией распределения случайной величины Х называется функция , выражающая для каждого Х вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее Х:

Функцию иногда называют интегральной функцией распределения.

Если значения случайной величины — точки на числовой оси, то геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х попадает левее заданной точки Х (рис. 7.2):

Рис. 7.2

F(X) обладает свойствами:

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

.

Утверждение следует из того, что функция распределения — это вероятность.

2. Функция распределения есть неубывающая функция на всей числовой оси.

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна 1, т. е.

; .

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал (включая ) равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т. е.

.

< Предыдущая		Следующая >