02. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий

Гипотезы о дисперсии играют очень важную роль в экономико–математическом моделировании, так как величина рассеяния экспериментальных выборочных данных относительно рассчитанных теоретических значений соответствующих параметров, характеризующаяся дисперсией, дает возможность судить о пригодности (адекватности) теории или модели, на основании которой строится теория.

Пусть нормально распределенная случайная величина x определена на некотором множестве, образующем генеральную совокупность, а нормально распределенная случайная величина h определена на другом множестве, которое тоже составляет генеральную совокупность. Из обеих совокупностей делаются выборки: из первой – объема N1, а из второй – объема N2 (отметим, что объем выборки не всегда можно определить заранее, как например в случае, если он равен количеству рыб, попавших в сеть). По каждой выборке рассчитывается исправленная выборочная дисперсия: S12 для выборки из первой совокупности и S22 для выборки из второй совокупности.

Поставим задачу: с помощью выборочных данных проверить статистическую гипотезу H0: DX = DH. В качестве конкурирующей гипотезы будем рассматривать идею, заключающуюся в том, что дисперсия той совокупности, для которой исправленная выборочная дисперсия оказалась наибольшей, больше дисперсии другой совокупности. Критерий берется в следующем виде:

.

Здесь S**– наибольшая из двух оценок s12 и S22, а S*– наименьшая из тех же двух оценок.

Критерий F распределен по закону Фишера с K1 и K2 степенями свободы. Здесь

K1 = N1–1, K2 = N2–1, если S**= s12;

K1 = N2–1, K2 = N1–1, если S**= s22.

В этой задаче естественно рассматривать правостороннюю критическую область, так как достаточно большие выборочные значения критерия F Свидетельствуют в пользу конкурирующей гипотезы.

При заданном уровне значимости Q (обычно Q =0,05 или Q =0,01) критическое значение FКр определяется из таблицы распределения Фишера. В случае F > FКр гипотеза H0 отвергается, а в случае F < FКр – принимается.

Пусть два множества некоторых объектов, обладающих количественным признаком, подвергнуты выборочному контролю. Значения количественного признака есть распределенные по нормальному закону случайные величины, которые мы обозначим x1 и x2, соответственно, для первого и для второго множеств. Из первого множества сделана выборка объема N1=21 и подсчитана исправленная выборочная дисперсия, оказавшаяся равной 0,75. Из второго множества сделана выборка объема N2=11. Эта выборка дала значение исправленной выборочной дисперсии, равное 0,25. Выдвигаем гипотезу H0: DX1=DX2. Конкурирующая гипотеза H1 заключается в том, что DX1>DX2. В данном случае выборочное значение FВ критерия Фишера равно 3. При выбранном уровне значимости Q = 0,05 по числам степеней свободы K1=20, K2=10 находим по таблице распределения Фишера FКр=2,77. Так как FВ > FКр, гипотеза о равенстве дисперсий должна быть отвергнута.

< Предыдущая		Следующая >