51. Принцип аргумента

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть - «воротниковая» окрестность кривой , где - некоторая область и аналитична и не равна нулю в . Зафиксируем точку и проведем через нее разрез в виде кусочно-гладкой дуги (см. рисунок). Тогда - односвязная область, в которой функция аналитична в силу перечисленных условий. По теореме о существовании первообразной в односвязной области и в силу того, что - первообразная для . Таким образом мы выделяем непрерывную ветвь логарифма. И по формуле Ньютона-Лейбница: . Теперь, устремив , мы получаем: , где первое слагаемое равно нулю в силу того, что - однозначная функция. В силу формулы логарифмического вычета, получаем: . Отсюда сразу получаем Принцип аргумента: .

Геометрический смысл этого принципа показан на рисунке. Величина, стоящая в числителе есть число полных оборотов точки-образа вокруг нуля при одном полном обходе точки прообраза по границе области .

Пример: Пусть в - функция имеет в круге один нуль третьего порядка , тогда в образе границы круга будет окружность радиуса 1, которая обходится ровно три раза.

< Предыдущая		Следующая >