33. Вторая теорема Вейерштрасса

Теорема: Пусть - область, ограниченная границей , которая является компактом в . Пусть - аналитические в и непрерывные вплоть до границы, т. е. непрерывны в . Тогда, если ряд на сходится равномерно к своей сумме, то он сходится равномерно на всей области .

Доказательство: Зададим произвольно . Применим к ряду признак Коши равномерной сходимости:

. Функция аналитична в и непрерывна вплоть до границы, тогда по принципу максимума модуля: . Следовательно, выполняется признак Коши равномерной сходимости этого ряда на всей области . Теорема доказана.

Формулировка для последовательностей: Если - аналитические в и непрерывные вплоть до границы и на , тогда , аналитическая в , такая, что на всей .

Доказательство этой формулировки скодится к самой теореме следующим соотношением:

< Предыдущая		Следующая >