31. Первая теорема Вейерштрасса

Теорема: Если равномерно на любом компакте в , где - аналитические функции в , то аналитична в и последовательность сходится равномерно на компактах в к .

Доказательство: Докажем аналитичность в функции . Пусть , построим круг , где , . По интегральной формуле Коши , окружность является копактом в , следовательно, равномерно на , значит, является аналитической функцией, как комплексный потенциал.

Далее, . Покажем равномерную сходимость на компакте . Пусть , так как - область и имеем: . Зададим , так как равномерно на , то существует , такое что .

. Далее по интегральной формуле Коши получаем:

То есть разность , это и означает равномерную сходимость к на . Теорема доказана.

Версия этой теоремы для рядов: Пусть - область, в которой задан функциональный ряд , где аналитичны в . Тогда, если этот ряд сходится равномерно на компактах из , то его сумма является аналитической функцией в и при этом ряд из производных сходится равномерно к на компактах из .

Доказательство данной формулировки сводится к предыдущей теореме заданием последовательноти конечных частичных сумм , для которых выполнены условия предыдущей теоремы. Остается заключить, что на компактах из и заметить, что для конечной суммы верно: .

< Предыдущая		Следующая >