13. Круговое свойство дробнолинейных отображений

Утверждение: Пусть ДЛО тогда оно представимо в виде , где - линейные, и .

Доказательство: ; ; .

Утверждение доказано.

Опр: Обобщенная окружность в есть либо окружность, либо прямая (как окружность, проходящая через )

Пусть - обобщенная окружность. Рассмотрим два случая:

1) Окружность: . Выведем ее уравнение: ;

; Обобщая это уравнение, получаем:

- Общая форма уравнения обобщенной окружности.

2) Прямая: ; Сопоставим это уравнение с уравнением прямой:

; ; Приведя подобные:

Сопоставляя это уравнение с общим видом, получаем: .

Теорема о круговом свойстве ДЛО: ДЛО переводит обобщенную окружность в обобщенную окружность.

Доказательство: 1) Если , то это есть отображение подобия (растяжение во всех направлениях с одинаковым коэффициентом, поворот и сдвиг). Ясно, что форма окружностей и прямых при этом не меняется.

2) Из предыдущего утверждения: . Для линейного отображения эта теорема доказана. Осталось рассмотреть отображение . Заменим в общем уравнении обобщенной окружности на : ; Домножим на и получим: ; Полученное уравнение описывает обобщенную окружность со следующими коэффициентами: .

Теорема доказана.

< Предыдущая		Следующая >