02. Топологические понятия на комплексной плоскости

Опр: Пусть - множество и - некоторое семейство его подмножеств, удовлетворяющее аксиомам:

1) 2)

3) Объединение любого числа подмножеств из Также

4) Пересечение конечного числа подмножеств из также

Тогда Называется Топологией на . МножествоС заданной на нем топологией называется Топологическим пространством. Множества из Называются Открытыми. Если в Входят все подмножества , то такая топология называется Дискретной. Если также выполняется аксиома Хаусдорфа:

5) где - открытые

То пространство Называется Хаусдорфовым.

Опр: Пусть-топологическое пространство. Открытое множество , содержащее точку , называется (открытой) окрестностью точки .

Опр: Пусть . Точка Называется Внутренней точкой, если существует окрестность точки , такая, что .

Опр: Множество называется Замкнутым, если его дополнение к - открытое множество. Аксиомы для замкнутого множества получаются из аксиом открытого заменой в аксиомах 3 и 4 объединения на пересечение и наоборот.

Опр: Пусть , тогда Есть Точка прикосновения, если для любой окрестности этой точки: . Сама точка не обязана принадлежать. Множество всех точек прикосновения называется Замыканием множества и обозначается . Нетрудно проверить следующие утверждения:

1. 2. -замкнуто 3. Если замкнуто, то 4.

Пусть - топологическое пространство, , тогда, если - открытое множество в , то Называется открытым в . {, где - открытое в }-топология в . В топологии на множества вида , где -замкнуто в, являются замкнутыми.

Опр: Пара, где -топологическое пространство, а -метрика, образует Метрическое пространство. Метрикой называется функция, определенная для любых двух элементов изИ удовлетворяющая аксиомам метрики:

М1: и

М2: для

М3: для

Опр: Пусть - топологическое пространство, тогда называется Связным, если его нельзя представить в виде объединения двух непустых и непересекающихся множеств . Множество в топологическом пространстве называется связным, если оно связно, как пространство с индуцированной топологией. Областью Называется открытое связное множество.

Опр: Пусть и - топологические пространства. Отображение называется непрерывным, если для любого открытого (замкнутого) праобраз является также открытым (замкнутым). Нетрудно проверить свойство такого отображения: если и - непрерывные, то суперпозиция - также является непрерывным отображением. Если является непрерывным и Взаимооднозначным, т. е. - непрерывное, то Называется Гомеоморфизмом.

Опр: Пусть - окрестность , тогда называется Проколотой окрестностью.

Опр: Пусть , точка Называется Предельной точкой множества , если любая проколотая окрестность точки не имеет общих точек с множеством .

Опр: Открытым шаром в метрическом пространстве называется множество вида: .

Опр: Пусть - топологическое пространство, - непрерывно, - предельная точка в . Тогда называется Пределом В , если для любой проколотой окрестности существует проколотая окрестность , такая, что . Обозначение: .

Упр: Доказать, что в метрическом пространстве открытый шар есть открытое множество.

Упр: Доказать, что непрерывный образ связного множества является связным.

Упр: Доказать, что множество предельных точек множества является замкнутым.

< Предыдущая		Следующая >