31.3. Интерполяционный многочлен Ньютона

Интерполяционным многочленом Ньютона называется многочлен

(31.13)

В которомI - разделенные разности различных порядков.

Этот многочлен удовлетворяет условиям

Интерполяционной формулой Ньютона называется формула

(31.14)

Замечание 1. Поскольку любойЧлен многочлена Ньютона зависит только отПервых узлов интерполяции и от значений функции в этих узлах, добавление новых узлов вызывает в формуле (31.13) лишь добавление новых членов без изменения первоначальных. Это является существенным преимуществом многочлена Ньютона по сравнению с многочленом Лагранжа.

Замечание 2. В силу единственности интерполяционного многочлена Степени интерполяционный многочлен Ньютона перегруппировкой членов можно преобразовать в интерполяционный многочлен Лагранжа и обратно.

В случае равноотстоящих узлов интерполяции

| из формулы (31.14) с учетом (31.12) получается интерполяционная формула Ньютона для «интерполирования вперед»:

(31.15)

Формула (31.15) удобна при интерполировании функций для значений х, близких к наименьшему узлу

Интерполяционная формула Ньютона для «интерполирования назад»:

(31.16)

Формула (31.16) удобна при интерполировании функций для значений х, близких к наибольшему узлу

Замечание 3. В формуле (31.15) в коэффициенты многочлена входят конечные разности различных порядков, принадлежащие верхней (нисходящей) строке таблицы разностей (см. табл. 31.1). В формуле (31.16) в коэффициенты многочлена входят разности различных порядков, принадлежащие нижней (восходящей) строке таблицы разностей.

Пример 31.4. Найти интерполяционный многочлен Ньютона для функции, если известны ее значения:

В данном случаеОтметим, что

Узлы не являются равноотстоящими (так как). Интерполяционный

Многочлен (31.13) приС учетом равенств (31.11) принимает вид

Вычисляем разделенные разности

Подставляя в выражение дляСоответствующие значения, находим интерпо

Ляционный многочлен Ньютона

Замечание 4. Раскрывая скобки и группируя члены, получаем

Пример 31.5. Найти интерполяционный многочлен Ньютона для функцииПо ее значениям в точкахИ вычислитьИ

Вычислим сначала значения функции в данных равноотстоящих узлах:

Составим таблицу разностей различных порядков (табл. 31.3).

Числа, подчеркнутые одной чертой входят в интерполяционную формулу Ньютона для «интерполирования вперед». Многочлен в правой части формулы (31.15) в данном случаеПринимает вид

С помощью этого многочлена вычислим значение функцииПри

(значение аргумента ближе кПодставляя значение

В формулу (I), находим

Числа табл. 31.3, подчеркнутые двумя чертами (и число 0,5 в столбцеI, входят в интерполяционную формулу Ньютона для «интерполирования назад». Многочлен в правой части формулы (31.16) в данном случае принимает ввд