11.6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием переменных

Теорема 11.9. Если существует ортогональное преобразование с матрицей С, приводящее действительную квадратичную формуК каноническому виду

(11.11)

То- характеристические числа матрицыКвадратичной формы

Теорема 11.10. Для любой действительной квадратичной формы существует ортогональное преобразование, приводящее ее к каноническому виду.

Теорема 11.11. Для любой, действительной симметрической матрицыСуществует такая ортогональная матрицаЧто- диагональная матрица.

Следствие. Любая действительная симметрическая матрица может быть приведена к диагональному виду.

Теорема 11.12. Если линейное преобразование действительного линейного пространства имеет действительную симметрическую матрицу в некотором ортонормированном базисе, то существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого преобразования.

Из этих теорем следует правило нахождения ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму п переменных к каноническому вицу. Эго правило состоит в следующем: 1) записать матрицу данной квадратичной формы, найти ее собственные значения и п попарно ортогональных собственных векторов, пронормировать их; 2) составить матрицу из ортонормированных собственных вектор-сголбцов; 3) записать искомое ортогональное преобразование с помощью последней матрицы.

Пример 11.3. Найти ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду квадратичную форму двух переменных хи х,,

Характеристическое уравнение (5-А.)(7-А,)-24 = 0, или А1 -12А.+ +11 = 0, имеет корни X, =1, А., =11, которые янляются собственными значениями матрицы А.

Найдем собственные векторы, соответствующие полученным собственным значениям. Координаты (л, I) этих векторов определяются из системы уравнений (10.12), которая в данном случае имеет вид

(5-А)« + 2>/бг = 0,0 гЛв + (7-А) 1 = 0.

При А, = 1, А, = 11 имеем две системы

4л + 2>/бг = 0, - 65 + 2->[б1 = 0,

2^б5+6/ = 0, 2^6в-А1 = 0.

Из этих систем находим собственные векторы и = (- (л/б/2) I, I), V = ((-Уб/з) I, I),

Где 1Ф 0. Положив 1х=—2, 1г =3, получим м= (Л,-2), V = (Л, 3).' Нормировав эти векторы, запишем их координаты в столбцы, составим матрицу В:

Дх,,х2) = 5х{ + 4-/бх, х2 + 1х[. .

Поскольку в данном случае я,, = 5, аи = аг{ = 2^6, а21 = 7, то матрица А этой квадратичной формы и ее характеристическое уравнение йе1(/4- ХЕ) = О запишутся так: