01. Определение и вычисление несобственных интегралов по бесконечному промежутку

При вычислении и исследовании определённых интегралов учитывается основополагающее утверждение о том, что непрерывная на конечном интервале функция имеет первообразную (теорема Коши). Эта первообразная не всегда выражается через конечное число элементарных функций, но важно то, что она существует. При выполнении условий теоремы Коши определённый интеграл будем называть Собственным, подразумевая наличие у него первообразной. Если один из пределов интегрирования не является конечным, то говорят о Несобственном интеграле по бесконечному промежутку или Первого рода, который определяют через предельный переход:

(1а)

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл по бесконечному промежутку называется Сходящимся, в противном случае – расходящимся (если предел не существует или равен бесконечности). Аналогично определению (1а) имеем:

(1б)

(1в) где a<c<b.

Интегралы, определённые формулами (1а) и (1б), будем называть несобственными интегралами С одной особенностью (соответственно на верхнем или нижнем пределах интегрирования).

Пример 1. Вычислить несобственные интегралы по бесконечному промежутку или установить их расходимость:

a). б). в).

Решения. а). этот предел не существует; стало быть, исследуемый интеграл расходится.

б).

стало быть, интеграл сходится и величина его равна .

в).

; стало быть, интеграл сходится и величина его равна .

Упражнение 1. Вычислить интегралы или установить их расходимость:

А). ; б). ; в). .

Для сходящихся несобственных интегралов по бесконечному промежутку сохраняются основные свойства и формулы определенного интеграла, а именно: наряду с линейностью интеграла имеют место формулы Ньютона-Лейбница, замены переменной и интегрирования по частям.

Пример 2. Вычислить интегралы:

А). ; б). ; в). .

Решения. а).

.

б). .

В).

.

Упражнение 2. Вычислить интегралы:

А). ; б). ; в). .

В ряде случаев несобственный интеграл по бесконечному промежутку с помощью замены переменной преобразуется в собственный интеграл. Так, например, вычислим интеграл: . Пусть , ; если , ; если ; Далее, имеем: (это уже собственный интеграл) = .

Следующая >