08. Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Определение. Совокупность соотношений вида:

Где х - независимая переменная, у1, у2,…,уn – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

Такая система имеет вид:

(1)

Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве.

Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n-1) –мерного пространства функции … непрерывны и имеют непрерывные частные производные по , то для любой точки этой области существует единственное решение

Системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям

Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида (1) будет совокупность функций , , … , которые при подстановке в систему (1) обращают ее в тождество

Ряды с неотрицательными членами.

При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т. к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.

Теорема. Для сходимости ряда С неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.

Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.

Пусть даны два ряда и при un, vn ³ 0.

Теорема. Если un £ vn при любом n, то из сходимости ряда Следует сходимость ряда , а из расходимости ряда Следует расходимость ряда .

Доказательство. Обозначим через Sn и sn частные суммы рядов и . Т. к. по условию теоремы ряд Сходится, то его частные суммы ограничены, т. е. при всех n sn < M, где М – некоторое число. Но т. к. un £ vn, то Sn £ sn то частные суммы ряда Тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.

Также используется следующий признак сходимости:

Теорема. Если и существует предел , где h – число, отличное от нуля, то ряды и Ведут одинаково в смысле сходимости.

Признак Коши. (радикальный признак)

Если для ряда С неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

,

То ряд Сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство

То ряд Расходится.

Следствие. Если существует предел , то при r<1 ряд сходится, а при r>1 ряд расходится.

Интегральный признак Коши.

Если j(х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;¥), то ряд j(1) + j(2) + …+ j(n) + … = и несобственный интеграл одинаковы в смысле сходимости.

Пример. Ряд сходится при a>1 и расходится a£1 т. к. соответствующий несобственный интеграл сходится при a>1 и расходится a£1. Ряд называется общегармоническим рядом.

Следствие. Если f(x) и j(х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и то интегралы и ведут себя одинаково в смысле сходимости.

< Предыдущая		Следующая >