12. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя
Все вышеперечисленные пределы не использовали аппарат дифференциального исчисления. Однако, если необходимо найти
и при 
обе эти функции бесконечно малые или обе бесконечно большие, то их отношение не определено в точке 
и, следовательно, представляет собой неопределенность типа 
или 
соответственно. Поскольку это отношение в точке может иметь предел, конечный или бесконечный, то нахождение этого предела называется раскрытием неопределенности (правило Лопиталя Бернули),
И имеет место следующее равенство:
, если 
и 
.
1. 
(здесь имеет место неопределенность типа )=
=
.
Аналогичное правило имеет место, если 
и 
, т. е. .
2. 
(неопределенность типа 
)
=
=
.
Правило Лопиталя позволяет также раскрывать неопределенности типа 
и 
. Для вычисления 
, где 
- бесконечно малая, а 
- бесконечно большая при (раскрытие неопределенности типа ) следует преобразовать произведение к виду
(неопределенность типа ) или к виду 
(неопределенность типа ) и далее использовать правило Лапиталя.
3.
Для вычисления 
, где и - бесконечно большие при (раскрытие неопределенности типа ) следует преобразовать разность к виду 
, затем раскрыть неопределенность 
типа . Если 
, то 
.
Если же 
, то получается неопределенность типа (
), которая раскрывается аналогично примеру 12).
4. 
.
Так как 
, то получим в итоге неопределенность типа 
и далее имеем
.
Правилом Лопиталя можно пользоваться также для раскрытия неопределенностей типа 
. В этих случаях имеется в виду вычисление предела выражения 
, где в случае 
Есть бесконечно малая, в случае 
- бесконечно большая, а в случае 
- функция, предел которой равен единице.
Функция 
В первых двух случаях является бесконечно малой, а в последнем случае – бесконечно большой функцией.
Прежде чем искать предел таких выражений, их логарифмируют, т. е. если 
, то 
, затем находят предел 
, и после чего находят предел 
. Во всех перечисленных случаях является неопределенностью типа 
, которую раскрывают аналогично примеру 12).
5. 
(воспользуемся правилом Лопиталя)=
=
.
В этом произведении пределов первый равен 1, второй сомножитель представляет собой первый замечательный предел и он тоже равен 1, а последний сомножитель стремится к 0, следовательно:
и тогда 
.
6. 
=
;
.
7. 
;
=
;
.
8. 
;
=
;
.
| < Предыдущая |
|---|
