6.3.1. Примеры

Ниже приведены примеры неопределённостей, для раскрытия которых удобно пользоваться таблицами эквивалентных бесконечно малых, полученных в качестве следствий 1 и 2 замечательных пределов, или непосредственно самими этими пределами.

При использовании эквивалентных бесконечно малых следует помнить, что Разность двух бесконечно малых – бесконечно малая более высокого порядка малости, чем каждая из них: , то . Заменять эквивалентными в такой разности непосредственно нельзя. Такое выражение должно быть предварительно преобразовано.

Пример 1.

Пример 2.

Решение. Обратите внимание, что . Замена и на привела бы к неправильному результату. Разность должна быть предварительно преобразована:

Тогда .

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6.

Пример 7.

Решение. При раскрытии неопределенностей вида следует воспользоваться вторым замечательным пределом .

Анализ выражения, стоящего под знаком 2 замечательного предела, показывает, что его конструкция такова: к единице прибавляется бесконечно малая величина и эта сумма возводиться в степень, равную обратной величине для прибавляемой бесконечно малой, т. е. х или . Если в данном примере к основанию степени мы прибавим и отнимем единицу, то выражение не изменится, но мы сможем определить вид прибавляемой бесконечно малой величины. Т. е.

Таким образом, роль бесконечно малой играет слагаемое , которое стремится к 0 при . Обратная величина будет . Выполним тождественное преобразование.

Предел основания в полученном выражении равен числу Е, т. е.

(по 2 замечательному пределу).

Тогда данный предел сводиться к вычислению предела показателя, т. е.

В результате проведенного анализа можно сделать вывод, что если – бесконечно малая, а Бесконечно большая в расматривамом процессе (Или ), то

Пример 8.

Решение. Выполним преобразование с основанием и показателем степени (См. пример 7.)

Тогда

Замечание. Если воспользоваться выводом из примера 7, то можно сразу записать, что

Пример 9.

Решение.

Следует заметить, что если бесконечно малые и эквивалентны и бесконечно большие и Эквивалентны, то

Этот факт существенно упрощает вычисление пределов при раскрытии неопределенностей вида

Так, если учесть, что , то последний пример можно было решать следующим образом

Пример 10.

Решение. 1 способ:

2 способ:

Так как , а , то

Ниже рассмотрены пределы при условии, что , тогда . В этих случаях удобна замена переменной , т. е. получение возможности непосредственного использования таблицы эквивалентных бесконечно малых величин для выделения «главных частей».