11.5. Производные высших порядков

Производные высших порядков

Операция дифференцирования может быть повторена, если производная функции снова является дифференцируемой функцией. Вторая производная для функции рассматривается как производная от ее первой производной:

И обозначается следующим образом:

Процесс дифференцирования может производиться и дальше, если в результате дифференцирования получаются функции, имеющие производные.

Например, найдем производные и для функции :

Приведите пример функции, имеющей в некоторой точке производные до пятого порядка включительно, но не имеющей производную более высокого порядка.

Во многих случаях нахождение производных более высокого порядка сильно усложняется. Не всегда удается найти общую формулу вычисления производной N-го порядка без вычисления промежуточных производных. Нахождение такой формулы возможно только в некоторых случаях. Например, без особого труда удается найти производную N-го порядка функции

Как получена эта формула?

Она имеет вид

.

Лейбниц сумел найти общую формулу для производной N-го порядка произведения функций:

Эта формула оказалась полезной во многих случаях при выводе общих выражений для N-й производной.

Исследуйте возможности доступных вам ЭВМ и программных продуктов к ним в отыскании производных N-го порядка.

Пользуясь этой формулой, найдите

В настоящее время имеются эффективные программные продукты для ЭВМ, позволяющие не только получать приближенное численное значение производных различных порядков дифференцируемых функций в некоторых точках, но и их приближенное представление, например, в виде многочленов на отдельных промежутках.

< Предыдущая		Следующая >