08.3. Предел на бесконечности

Предел на бесконечности

Можно ли говорить о пределе функции, когда ? Имеет ли смысл выражение ? Ответы на эти вопросы позволят нам расширить понятие предела функции и глубже проникнуть в смысл абстракции бесконечности.

Рассмотрим пример. Пусть дана однородная пластина, размеры a, b, c, d которой известны (рис. 9.12). Найти координаты ее центра тяжести. При достаточно больших значениях d наличие выступа ALEF Не окажет существенного влияния на результаты расчета. Начиная с какого значения d, координаты центра тяжести пластины будут отличаться по абсолютной величине от координат центра тяжести прямоугольника менее, чем на величину E?

Рис. 9.12. Определение центра тяжести пластины.

 

Центр тяжести пластины может быть определен достаточно просто геометрически. Разбивая ее на прямоугольники AFEL и BCDL, Получим, что центр тяжести лежит на прямой M1N1, связывающей точки пересечения диагоналей этих прямоугольников. С другой стороны, разбивая эту же пластину на прямоугольники ABKF и EKCD, строим прямую M2N2, связывающую их центры тяжести. На пересечении прямых M1N1 и M2N2 получим точку P – центр тяжести пластины.

Естественно предположить, что с увеличением d центр тяжести будет смещаться по вертикали к середине отрезка BL, а по горизонтали будет неограниченно удаляться вправо. Покажем это аналитически. Введем систему координат Xoy, как показано на рис. 9.12. Считая пластину двухмассовой системой, состоящей из прямоугольников AFEL и BCDL, получим координаты xц и уц центра тяжести пластины

Где М1 (х1,у1) И N1 (x2,y2) – центры тяжести соответствующих прямоугольников. Так как пластина однородна, то

Где S1 и S2 – площади прямоугольников, а – их плотность. Но

Отсюда

Задав численные значения a, B и c, можно показать, проведя вычислительный эксперимент на ЭВМ, что с увеличением d координата xц будет стремиться к , а координата yц будет неограниченно возрастать. Но где гарантия того, что этим предельным значением будет , а не , к примеру? Как понимать “неограниченное возрастание yц” при “неограниченном возрастании d”? Геометрические cоображения, позволяющие интуитивно предвидеть ответ, еще не являются доказательством выдвигаемой гипотезы.

Чтобы ответить на поставленные вопросы, необходимо ввести новые строгие определения.

Будем называть число A ПРЕДЕЛОМ ФУНКЦИИ при , если для любого положительного числа E Существует такое положительное число , что для окажется справедливым неравенство :

Рис. 9.13. Предел функции на бесконечности.

 

График функции, имеющей предел A на бесконечности, может выглядеть, например, так, как на рис. 9.13.

Cтрелками на оси x обозначены направления, по которым значения аргумента обеспечат выполнение неравенства . В отличие от функции, изображенной на этом рисунке, существуют и функции, которые ведут себя не одинаково, когда и когда , то есть когда x неограниченно удаляется вправо (влево) по оси абсцисс. Они могут иметь различные пределы, или только один из них и даже совсем не иметь предела. Дадим определение таких пределов (оно вытекает из уже сформулированного определения предела при ):

Примеры таких функций даны на рис. 9.14.

Теперь становится понятной задача отыскания предела координаты – центра тяжести пластины при : требуется найти cтоль большие значения размера d, что . Число E на практике характеризует обычно абсолютную погрешность, которая допустима при получении результата. Определение предела дает возможность в данном случае сделать важный для практики вывод: если найдено значение d=M, начиная с которого , то уже для значений d > M можно считать , что упрощает вычисления. Возможность отыскания этого “порога” – числа M – позволяет обосновать теория пределов. Результат, полученный геометрически, означает возможность упрощения формы пластины до прямоугольника LBCD, если это позволяет заданная погрешность E при вычислении координат центра тяжести пластины.

Рис. 9.14. Возможные случаи предельного перехода При , стремящемся к бесконечности: А) предел функции при ; Б) предел функции при .

 

Дадим теперь определение бесконечного предела функции.

Будем говорить, что функция при стремится к , если для любого положительного числа L найдется такое положительное число , что для и удовлетворяющих неравенству , в области определения функции будет справедливо неравенство :

На рис. 9.15 по заданному L указан промежуток значений x, для которых выполняется неравенство

Рис. 9.15. Бесконечный предел функции.

 

Искомая проколотая D-Окрестность – Это симметричный интервал с центром в точке a, принадлежащий этому промежутку.

< Предыдущая		Следующая >