07.1. Задачи, приводящие к понятию предела
Зачастую мы принимаем правильные решения, не вполне осознавая тот путь, который приводит нас к верному выбору. К примеру, если нас спросить, к чему стремится площадь квадрата, когда его сторона стремится к нулю, мы не затруднимся с ответом: разумеется, тоже к нулю. И при этом мы понимаем, что сторона не будет равна нулю, а лишь к нему приближается; по аналогии мы полагаем, что и площадь приблизится к нулю.
Как будут изменяться значения функции
Если x Будет стремиться к 3? Мы сразу ответим – к 6, считая, что для этого необходимо 2 умножить на 3. Но почему именно так следует поступить? Ведь x, по условию, лишь приближается к 3, не принимая этого значения, поэтому и величина 6 недостижима.
На чем основано такое наше решение? Мы выполняем сложнейшую неарифметическую операцию – предельный переход, порой подсознательно, не задумываясь над тем, что понимание ее природы наполнило новым смыслом многие научные теории.
Но есть вопросы, на которые не так легко ответить, здесь уж наша интуиция “не срабатывает”. Пусть дано, например, квадратное уравнение
(9. 1)
Оба корня которого, как известно, находятся по формуле
(9. 2)
Если a устремляется к нулю, то данное уравнение мало отличается от линейного
, (9. 3)
Которое имеет только один корень
(9. 4)
Куда “исчезает” второй корень? Как из решения (9.2) получается решение (9.4)?
Или другой пример. Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания а, двугранный угол при ребре основания равен 
(рис. 9.1). Когда 
стремится к нулю, к чему стремится площадь сечения пирамиды, делящего двугранный угол при ребре основания пополам?
|
Рис. 9.1. Сечение пирамиды плоскостью, делящей |
Интуиция подсказывает, что при , стремящемся к 0, сечение, вероятно, совпадает с основанием и поэтому площадь такого сечения будет стремиться к a2. Однако, думая так, мы получаем ошибочный результат, который отличается от истинного почти в два раза.
Есть и гораздо более сложные проблемы, сама формулировка которых требует основательных математических знаний. Идеи, на которых строится математический анализ, появились еще во времена Архимеда, однако лишь в конце XVII века они получили новую жизнь. В этот период проблемы механики активно генерировали развитие математических знаний. Можно ли при помощи четырех арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) вычислить мгновенную скорость тела, которое движется неравномерно? Оказалось, что нет. Требовалось изобрести какое-То новое математическое действие.
Пусть закон движения тела во времени 
(рис. 9.2). Его средняя скорость за время 
будет
|
Рис. 9.2. К задачам о вычислении мгновенной скорости неравномерного движения и нахождении углового Коэффициента касательной к кривой. |
Если же взять момент времени 
, отличный от 
, то средняя скорость окажется другой:
Можно ли говорить о скорости в момент времени? Вообще, что же такое скорость неравномерного движения?
Появилась и внутренняя проблема математики, решение которой при помощи четырех арифметических действий вызвало трудности: каким будет положение прямой, на которой лежит хорда к кривой 
, соединяющая две ее точки 
и 
, когда 
стремится к 
? Прямая будет, очевидно, касаться кривой. А как найти уравнение этой касательной, точнее, ее угловой коэффициент, полагая, что точку касания мы знаем и угловой коэффициент хорды известен:
?
Вот как эти и другие проблемы сформулировал И. Ньютон:
“1. По данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями.
2. По данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюентами”.
Под флюентами Ньютон понимал изучение текущих (изменяющихся во времени) величин, а флюксиями называл скорости их изменения.
|
“Пусть смертные радуются, что среди них жило такое украшение рода человеческого”. Надпись на могильном Памятнике И. Ньютону |
За два года – 1665, 1666 – Ньютон создал теорию флюксий и сформулировал основные идеи закона всемирного тяготения. Он жил в деревне недалеко от Кембриджа в условиях опасности эпидемии чумы, охватившей почти всю Англию, но продолжал напряженно работать.
Профессор Л. Мор, биограф И. Ньютона, утверждал: “В истории науки нет равного примера таких достижений, как достижения Ньютона в течение этих двух золотых лет.
Проблемы анализа Ньютон ассоциировал с кинематическими свойствами механического движения. Эти же математические идеи созрели и у другого великого ученого – Лейбница, который связал их с геометрическими объектами, в частности, с нахождением углового коэффициента касательной. Его статья “Новый метод для максимумов и минимумов, а также для касательных, для которого не являются препятствием дробные и иррациональные количества, и особый вид исчисления этого” определила новый взгляд на теорию пределов. У Лейбница не исследовалось само понятие предела. Этот ученый стоял на концепции бесконечно малых, которая имеет место и в современном нестандартном анализе. Научный спор этих двух великих умов – Ньютона и Лейбница – О смысле предельного перехода существенно продвинул развитие математического анализа. В последующее время все крупнейшие математики мира так или иначе связывали свои исследования с математическим анализом.
Важно отметить, что в настоящее время наиболее крупные научные открытия последних лет сделаны в области пограничных наук. Глубокое понимание отдельных дисциплин способствует появлению оригинальных результатов в межпредметной сфере деятельности. Подтверждением тому служит создание Н. Винером кибернетики, соединившей, казалось бы, далекие друг от друга разделы математики, естествознания и социальных наук общей идеей – идеей управления.
Ученые, занимающиеся историей математики, и в настоящее время изучают сложнейшие противоречия, в которых протекало ее развитие.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
