06.3. Построение системы аксиом

Построение системы аксиом

Оценивая аксиоматический метод, еще раз проанализируем математические подходы, которые кажутся уже привычными при построении математических рассуждений.

Если ученый создает сотни новых понятий – он разрушает науку, десятки – поддерживает ее, два-три – двигает науку вперед. Дмитрий Лихачев

Итак, математическая теория располагает конечным числом понятий. Среди них имеются ОСНОВНЫЕ, неопределяемые. Необходимые сведения о них излагаются в аксиомах. Кроме того, без доказательства принимаются утверждения, называемые АКСИОМАМИ, используемые в дальнейшем для доказательства других утверждений. Первичные понятия и аксиомы образуют АКСИОМАТИКУ, или СИСТЕМУ АКСИОМ. Может показаться, что введение системы аксиом не предполагает особых ограничений и происходит весьма произвольно. На самом деле это не так. Существуют условия, накладываемые на систему аксиом, невыполнение которых может привести к противоречивости научной теории. Выделим такие условия.

1. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АКСИОМ.

Перед Евклидом не стоял вопрос об истинности системы аксиом в целом, так как они являлись отражением свойств реальных объектов. Когда система аксиом образована формально, необходимо найти хотя бы одну область объектов, структура отношений между которыми удовлетворяет заданной системе аксиом. Если такая существует, то система аксиом называется ПРАВИЛЬНОЙ, или НЕПРОТИВОРЕЧИВОЙ. Более того, такая система аксиом применима не только для описания существующих объектов, но и для изучения тех из них, которые в принципе можно создать. То есть она обладает эвристической ценностью.

Каждая противоречивая система аксиом лишена смысла при описании реального мира и не интересна для математики. Более того, Д. Гильберт даже показал, что из такой системы аксиом всегда можно вывести противоречивые соотношения.

Не всегда бывает простым анализ непротиворечивости аксиом. Доказано, что не существует в общем случае алгоритма, позволяющего указать, противоречива или нет данная система аксиом.

2. НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ.

Система аксиом называется НЕЗАВИСИМОЙ, если ни одна из этих аксиом не является логическим следствием других. Если к заданной системе аксиом может быть присовокуплена еще одна, не вытекающая из уже имеющихся, то это означает, что создана новая теория. В конце XIX – начале XX века благодаря трудам Веблена, Гильберта, Колана, Пеано и других ученых была доказана независимость систем аксиом различных математических теорий.

3. ПОЛНОТА СИСТЕМЫ АКСИОМ.

Сам Гильберт определил систему аксиом как ПОЛНую, если имеется возможность в рамках этой системы установить истинность или ложность произвольного предложения, сформулированного при помощи ее терминов. Публикуя в 1899 году в Геттингене свои лекции “Основания геометрии”, он стремился создать сверхформализованный подход к изучению ключевых проблем математики. Такое построение науки он назвал метаматематикой. На практике, однако, из-за трудностей, связанных с определением уровня строгости рассуждений, в указанном смысле полнота системы аксиом почти недостижима. Немецкий математик К. Гёдель в 1931 году пришел к выводу, что системы аксиом арифметики, теории множеств, геометрии не удовлетворяют данному критерию полноты. Было выдвинуто более слабое толкование полноты: система аксиом полна, если все ее интерпретации необходимым образом изоморфны (то есть имеют одинаковую структуру, форму, глубинное сходство в своей природе).

В дальнейшем проблемы построения аксиоматических теорий будут обсуждаться подробнее.

< Предыдущая		Следующая >