06.2. Возникновение аксиоматического метода

Возникновение аксиоматического метода

Математические знания возникли в глубокой древности, но лишь в Древней Греции математика сформировалась как наука. Сравнительно “Недавно”, в 300-х годах до н. э., появился математический труд “Начала” Евклида, в котором геометрия получила логическое построение. Были введены аксиомы, постулаты и некоторые основополагающие понятия. В течение многих веков они казались безупречными. Однако в начале XIX века Н. Лобачевский построил новую геометрию, отказавшись от евклидовой аксиомы параллельности. Он сделал доклад о ней в 1826 году, как раз в тот год, когда родился другой выдающийся математик – Б. Риман, который рассматривал геометрию как учение о непрерывных совокупностях любых однородных объектов (многообразиях). Математики России и всего мира по-Разному восприняли идеи Лобачевского, назвав их воображаемой геометрией. Лишь спустя годы немецкий математик К. Гаусс заинтересовался этими результатами, но не решился выступить в их защиту. Но в самой России, достигнув даже высоких чинов, Лобачевский, стремившийся прежде всего к поиску истины в математике, не испытал при жизни радости признания своих научных трудов.

В конце XX века Д. Гильберт придал логически завершенный вид евклидовой аксиоматической системе. Созданная им теория доказательств активно используется в современной математике.

Аксиоматическое определение обладает теми преимуществами, что и воровство перед честным трудом. Б. Рассел

Развитие аксиоматического метода вызывало значительные трудности, возникали противоречия, которые казались порой непреодолимыми. Вместе с тем, его применение в различных областях математики позволило выявлять связь между, казалось бы, далекими друг от друга направлениями, и преодолеть тенденцию к распаду на независимые части всей системы математических знаний.

Могут существовать аксиомы, столь богато проверяемые следствиями, проливающие такой яркий свет на всю дисциплину и доставляющие настолько сильные методы решения задач, что совершенно безотносительно к их внутренней необходимости эти аксиомы придется принять хотя бы в том же смысле, в котором принимают любую основательную физическую теорию. К. Гедель

Сохраненное единство математической науки позволило распространить методы исследования, открытые в одних областях, на другие. Так, например, академик А. Н. Колмогоров, разрабатывая аксиоматику теории вероятностей, сумел существенно продвинуть достижения этой науки, активно применяя хорошо развитый аппарат теории функций действительного переменного к новым объектам исследования. Обобщая труды многих ученых, он и другие исследователи сумели выделить единую основу всех математических наук – теорию множеств, указав при этом, что математика изучает свойства структур, создаваемых в ее различных областях, на основе аксиоматики.

Воплощением этой идеи является уникальный труд французских и американских математиков, объединенных под псевдонимом Н. Бурбаки. Плодом их совместных усилий стал трактат “Элементы математики”, в котором важнейшие математические разделы излагаются с позиций формального аксиоматического метода. Первый том вышел в 1939 году, и до настоящего времени эта серия не завершена. Ученые отказались от первоначального замысла, так как стало ясно, что подобная проблема необъятна даже для крупнейших математиков.

Теория множеств, давшая единую основу математике, была создана Г. Кантором в конце XIX века. Она была встречена неоднозначно в научном мире, и споры о ней не утихают по сей день.

Математика, основанная на канторовской теории множеств, превратилась в математику канторовской теории множеств. Современная математика изучает, таким образом, конструкцию, отношение которой к реальному миру по меньшей мере проблематично... Это ставит под сомнение роль математики как научного и полезного метода. Математика может быть сведена к простой игре, происходящей в некотором специфическом мире. Это не опасность для математики в будущем, а непосредственный кризис современной математики. П. Вопенка

Одним из творений Георга Кантора является теория множеств, элементы которой в наше время преподаются в старших классах средней школы и даже ранее. Это еще одна область математики, о которой думали, что она не будет иметь ни малейшего практического применения. Каким это было заблуждением! Элементы теории множеств сейчас в ходу даже у авторов детективных историй. Хорошо известна связь теории множеств с составлением программ для вычислительных машин, а последние обслуживают несметное количество практических проектов. Л. Янг

...Утверждают, что теория множеств важна для научно-технического прогресса и является новейшим достижением математики. В действительности теория множеств не имеет ничего общего с научно-техническим прогрессом и не является новейшим достижением математики. Л. С. Понтрягин

После начального периода недоверия началось триумфальное шествие созданной теории множеств во всех областях математики. Ее влияние на математику XX века ясно видно в выборе современных проблем и в тех методах, которыми эти проблемы решаются. Применение теории множеств является повсеместным. К. Куратовский, А. Мостовский

Развитие математики во многом связано с преодолением противоречия: с одной стороны, математика – это наука о количественных соотношениях и пространственных формах, свойственных реальному миру. С другой, – абстрактные математические объекты, отражая некоторые стороны действительности, не обязательно совпадают с нашими обыденными представлениями. Математика расширила свой предмет изучения за счет более глубокого понимания количественных отношений и пространственных форм.

< Предыдущая		Следующая >