04.06. Умножение вектора на скаляр

Умножение вектора на скаляр

Действие умножения вектора на скаляр является естественным обобщением знаний, полученных при решении прикладных задач. ПРОИЗВЕДЕНИЕМ (или ) ВЕКТОРА НА СКАЛЯР L является вектор, имеющий модуль, равный произведению модуля данного вектора на абсолютную величину скаляра, и ориентацию, совпадающую с ориентацией данного вектора, если скаляр положителен, или же противоположную, если скаляр меньше нуля.

Очевидно, что произведение вектора на скаляр обратится в нуль, если один из сомножителей равен нулю.

Пусть дан вектор и скаляр . Введенное действие подчиняется следующим законам:

1. , где  – также скалярный множитель. Это равенство определяет сочетательный закон относительно скалярных множителей. Действительно, как следует из определения, последовательность выполнения операций в левой и правой частях этого равенства не влияет на результат.

2.  – распределительный закон скалярного сомножителя относительно суммы векторов;

 – распределительный закон векторного сомножителя относительно суммы скаляров;

3.  – сочетательный закон относительно скалярных сомножителей.

Равенства 2 выражают закон двоякой распределительности и позволяют, как в алгебре числовых величин, выполнять почленно действия умножения суммы векторов на скаляр и суммы скаляров на вектор. Например, если даны векторы и , приведенные к общему началу 0 (рис. 3.14, а), скаляр и , то вектор , изображенный на рис. 3.14, б, окажется равным вектору построенному на рис. 3.14, в. Это и подтверждает первое из равенств закона двоякой распределительности.

А) Б) В)

 

Рис. 3.14. Распределительный закон относительно
Скалярного множителя.

Операция деления вектора на скаляр определяется через уже введенную операцию умножения:

Где

Операция деления вектора на вектор не имеет особого смысла при решении реальных прикладных задач, поэтому в векторной алгебре она обычно не вводится.

Итак, мы определили линейные операции над векторами. Эти операции очень важны для формулировки многих законов физики. Так, например, второй закон Ньютона записывается в виде:

Где m – масса,  – ускорение точки.

Какой физический смысл имеет величина, равная произведению углового ускорения на момент инерции I?

Возможно, гениальность Ньютона как раз и состояла в том, что во времена, когда векторная алгебра только зарождалась, он сумел понять связь между векторными величинами, характеризующими различные силовые воздействия на тело, и одной единственной векторной величиной, определяющей его динамику и имеющей даже совсем другую размерность, – вектором ускорения. Эта связь осуществляется через скалярный множитель m –массу точки, которая, по его первому закону, является мерой инерции тела.

Развитие математических идей подталкивает, стимулирует прикладные исследования. Именно так произошло с одним из фундаментальных понятий математики, основанным на выполнении линейных операций над векторами – понятием линейной зависимости. Возникнув в математике, оно углубило представление о различных физических процессах и способствовало рождению многих открытий.

 

< Предыдущая		Следующая >