01.1. Природа математических моделей

Природа математических моделей

Мы решаем техническую задачу. С каким множеством самых разнообразных проблем мы при этом сталкиваемся! Для анализа некоторых из них наша интуиция способна сразу подсказать разумные подходы. Однако далеко не всегда удается приблизиться к сути исследуемого процесса на уровне интуиции, особенно если задача достаточно сложна и не укладывается в рамки традиционных представлений. Нужны методы универсальные, позволяющие в самых разнообразных ситуациях найти эффективный способ решения.

Методы моделирования занимают важное место в научных исследованиях. Моделирование может осуществляться самыми разнообразными путями: например, при помощи различных механических, электрических, оптических, гидродинамических построений, схем, конструкций и т. д. Развитие научно-технического прогресса, особенно в последние десятилетия, все более опирается на возможности математического моделирования как мощного инструмента в познании мира. Выделяя главное и отбрасывая второстепенное, отличая внешние признаки в системе – явлении, от свойств глубинных, определяющих сущность, эти методы позволяют понять смысл разнообразных процессов в природе и технике, предсказать их развитие. Идеи, приводящие к пониманию математического исследования, были известны уже давно, но лишь совсем недавно метод приобрел новое звучание, соответствующее духу эпохи, давшей нам ЭВМ.

Сложнейшие математические задачи, которые раньше могли решаться лишь «в принципе» из-за невозможности выполнения колоссального объема вычислений, сейчас стали решаться быстро и с высокой степенью точности, что приблизило математику к реальным потребностям деятельности человека. Математическое моделирование, благодаря вычислительной технике, позволило создать автоматизированные системы управления, которые могут функционировать как в масштабах отдельного предприятия, так и целой отрасли, появились системы автоматизированного проектирования, поражающие феноменальными возможностями машинной графики, а также робототехника, освободившая человека от тяжелого, однообразного труда, и многое другое, что определяет научно-технический уровень современного производства. Сегодня можно со всей определенностью сказать, что успешное решение как глобальных научно-технических проблем, так и частных задач конструирования во многом определяется успехами математического моделирования.

Так что же такое математическое моделирование? Почему именно в технике столь велико его значение? Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо исследовать ступени процесса познания, приводящие к созданию математической модели. Необходимо выяснить специфику этого метода решения технических задач. Требуется разобраться, почему именно технические задачи в своем описании близки к языку математики.

МАТЕМАТИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ можно определить как приближенное описание какого-либо явления или класса явлений с помощью математической символики.

Появление математической модели связано с абстрагированием реальности. Возможно, наши глубокие предки были очень горды собой, когда сумели понять, что, к примеру, три стрелы, три дерева, три камня можно обобщить термином ТРИ ПРЕДМЕТА, а потом представить себе три – как ЧИСЛО 3, над которым допустимо производить действия, специально не интересуясь тем, какие объекты им обозначены. Так, вероятнее всего, появились первые абстракции зарождающейся науки – математики. И не только в математике возникали абстракции. Идея Бога явилась для человека тоже абстракцией, способом видения своей истории, действительности и будущего человечества. Насколько эта абстракция близка к истине? Вопрос вечный. Но теперь, однако, ясно, что ни одна наука не обладает столь высоким уровнем абстрагирования, как математика. Для нее это не самоцель, а способ познания материального мира и самих математических объектов.

Абстрагируясь, математика вновь и вновь возвращается к истокам исследуемой проблемы, постоянно выверяя все гипотезы и предположения – с тем, чтобы сделать следующий виток в познании действительности.

Требуется определить массу Солнца. Его физико-геометрические характеристики получить гораздо труднее, чем, например, для Луны.. Предложите математическую модель для решения этой проблемы, считая известными следующие факты: расстояние от Земли до Луны – 384 000 км, ее радиус – 1740 км, расстояние от Земли до Солнца – 150 000 000 км, его средняя плотность – 1400 кг/м3.

Как же возникают абстракции? Что нам мешает изучать объект таким, какой он есть? Рассмотрим простой пример. Пусть требуется найти площадь земельного участка произвольной формы. Земледелец далекого прошлого, умеющий вычислять разве что площадь квадрата, представил бы участок именно в такой форме и приближенно решил бы задачу. Участок, рассматриваемый как квадрат, уже есть абстракция. Мы отвлеклись от некоторых особенностей геометрической формы обрабатываемой земли с тем, чтобы задача оказалась посильной для решения. Однако результат может получиться очень неточным, если истинная форма участка далека от квадрата. Желая улучшить качество решения, можно мысленно разбить участок на более мелкие квадраты и суммировать их площади. В дальнейшем человек постиг приемы вычисления площадей прямоугольников, треугольников, трапеций. Это позволило решать данную задачу точнее. А когда математики научились вычислять площадь произвольной плоской области, такая задача стала разрешима для любой конкретной ситуации. Вообще, задачи земледелия были предвестниками многих математических теорий, которые легли в основу современной математики. Правда, при решении нашей задачи обнаруживается, что уж слишком большая степень точности здесь вовсе не требуется, поэтому и математическую модель не следует излишне усложнять.

Решая искомую задачу, мы осуществили абстрагирование почти подсознательно, не заостряя особо на этом внимание. Однако далеко не всегда процесс абстрагирования так прост.

Представим себе запуск космического корабля. Зрелище, безусловно, захватывающее. А как наблюдают старт специалисты? Они располагаются в Центре управления полетом, быть может, далеко от космодрома, следя за вереницей цифр и графиков, появляющихся на экране дисплея. Кто же полнее воспринимает происходящее? Эмоционально – конечно, зрители. Специалисты, однако, могут предвидеть все нюансы процесса вывода корабля на расчетную орбиту. Это становится возможным благодаря математическим моделям, описывающим космическую экспедицию. Чтобы их создать, необходимо учесть почти невообразимое многообразие особенностей конструкции корабля, а также факторов, определяющих его работу. Эта проблема может оказаться реально неразрешимой, если не научиться выделять и отбрасывать второстепенные характеристики изучаемого объекта. Некоторыми его свойствами можно пренебречь со всей очевидностью.

Если бы я был господином над своими впечатлениями, я был бы математиком. А. К.Толстой

Однако далеко не всегда ясно, какими именно и до какой степени. В этом состоит одна из трудностей применения метода математического моделирования. Процесс абстрагирования, приводящий нас к математической модели, очень сложен и предполагает восхождение от предмета исследования, наделенного многообразием свойств, к математическому описанию, которое по своей природе обладает уже определенной независимостью от содержания и развивается по логике математических понятий. Если абстрагирование выполнено верно, то в результате математического анализа модели мы получим оценки, правильно отражающие свойства изучаемого объекта.

Применение метода математического моделирования проходит в три этапа:

1. Задача переводится на язык математики.

2. Ее решение осуществляется математическими методами.

3. Полученные результаты интерпретируются, выполняется их обратный перевод на естественный язык.

При разработке математической модели технической конструкции мы первоначально создаем модель на основе естественнонаучных представлений. Действительно, чтобы описать математически полет космической ракеты, необходимо использовать сведения из физики, химии и пограничных с ними наук, применить базовые, широко известные в этих науках, постановки задач, основанные на соответствующих гипотезах и абстракциях. Сами естественные науки, использующие математическое описание, можно считать математическими моделями.

Рассмотрим суть моделирования на, быть может, более простом примере. Пусть нам необходимо рассчитать прочность моста (рис. 1.1а).

Д)   Г)   В)   Б)   А)   Рис.1.1. Физические модели расчета моста.

Если его рассматривать как балку – а это абстракция инженерной науки – сопротивления материалов (рис. 1.1,б), то мы получим простую математическую модель, с помощью которой можно сравнительно легко вычислить изгиб моста и определить его прочность. Однако эти результаты могут оказаться очень грубым приближением к истине. Если требуется получить более точные сведения о напряженно деформированном состоянии, следует воспользоваться и более сложной физической моделью, базирующейся на гипотезах теории пластин (рис. 1.1,в) или плит (рис. 1.1,г). Применение методов механики сплошных сред дает возможность прийти к еще более сложной физической модели, позволяющей обнаружить неожиданные эффекты в распределении напряжений и деформаций (рис. 1.1,д). Применение подобных идей, вероятно, вызовет серьезные трудности, связанные с реализацией соответствующей математической модели. На практике мы всегда стоим перед необходимостью добиться оптимального соотношения между общностью выбираемых моделей и возможностью достижения требуемой точности конечного результата.

Проблема соотнесения свойств объектов с их числовыми и геометрическими характеристиками есть проблема измеримости их свойств. На каждом структурном уровне организации материи существуют объективные законы, определяющие связь между предметами и явлениями реального мира. На физическом уровне, как сравнительно более простом, удается довольно полно отразить через количественные отношения качественные, глубинные свойства исследуемого процесса. В химических, биологических, социальных науках, изучающих более сложные формы организации и движения материи, вопрос соответствия свойств изучаемых объектов числовым характеристикам, позволяющим осуществить их измерение, становится более трудным, и, в соответствии с этим, возможности математического моделирования сужаются. Используя даже самые совершенные ЭВМ, абсолютной математизации наших знаний добиться невозможно: количественные оценки не могут исчерпать качественных свойств объекта. Захватившая многих исследователей мысль о создании искусственного интеллекта технологическими средствами еще совсем недавно казалась абсолютно реальной. Теперь же термин «искусственный интеллект» нуждается в кавычках: математическая модель мозга, какой бы совершенной она ни была, не сможет отразить качественную сторону творческой деятельности человека, даже если перебор всех возможных вариантов «движения» мысли будет происходить с фантастическим быстродействием современных ЭВМ. А вот в решении технических задач, которые чаще всего базируются на физических законах окружающего мира, математическое моделирование – действенный метод исследования.

Технические науки выделились из математических и естественнонаучных в результате конкретизации, приложения фундаментальных знаний к отдельным областям инженерной деятельности. Это произошло лишь в конце XIX столетия. Развитие любой технической науки во многом определяется ее фундаментальной составляющей. Математическое моделирование начинается с установления связей, которым подчинено существование объекта. При этом моделирование исходит из знаний конкретных технических дисциплин, таких как “Конструирование котлов”, “Сваи и фундаменты”, “Двигатели внутреннего сгорания” и т. д. (в зависимости от объекта исследования). Далее эти знания обобщаются до уровня фундаментальных понятий, соответствующих общетехническим наукам, например, “сопротивлению материалов”, “теории механизмов и машин”, “теоретическим основам электротехники”. При решении инженерных задач в большей степени такие знания сводятся к физике или химии. Поэтому промежуточной ступенью в создании математической модели является схема, отражающая представление об объекте на уровне естественных наук, описываемая фундаментальными законами материального мира, которые характеризуют функционирование данной конструкции. Математическое описание этих законов завершает первый этап математического моделирования. Последующие этапы создания математической модели должны быть связаны с ее проверкой и уточнением принимаемых гипотез. Естественнонаучное описание происходит на уровне абстракций естественных наук, далее математика «продолжает» абстрагирование, переходя на свой, качественно более высокий уровень, рассматривая специфические для математики идеализированные образы.

Научные знания, привлекаемые к созданию математических моделей в технике, условно могут быть представлены следующей схемой (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Научные знания, участвующие в процессе
математического моделирования.

Одна и та же техническая задача может сводиться к различным математическим моделям, в то же время сами математические модели, ставшие уже классическими, применимы к решению самых разнообразных задач. Поэтому соответствие между задачами, возникающими на практике, и математическими моделями многозначно. Как справедливо считает ученый и педагог В. А. Успенский, имеет смысл по аналогии с художественными образами говорить о математических образах как о специфической форме отражения действительности. Действительность настолько сложна (а в современной технике такая сложность исключительна), что процесс упрощения становится в реальных условиях совершенно необходимым и наиболее оправданным методом изучения объекта. Искусство выбора математической модели состоит в достижении гармоничного единства простоты и ясности понимания предмета исследования, что, впрочем, соответствует и задачам художественного творчества. Иногда для объектов, свойства которых мало изучены, создается так называемая гипотетическая модель, которая не во всем может быть подтверждена практикой, – к примеру, модель микромира. Вместе с тем, такая гипотеза–модель позволяет расширить наши представления об окружающем мире. Для решения многих инженерных проблем разработаны весьма универсальные математические модели, которые считаются уже классическими. Полученные при помощи них теоретические выводы многократно проверены практикой, установлены границы применимости данных моделей. Такие математические модели позволяют воспользоваться приобретенным опытом решения уже известных задач для изучения новых проблем.

Разработайте различные математические модели к задаче о составлении расписания для двух учебных групп, позволяющие отразить 3 предложенных вами условия для проведения занятий.

Математика выявляет порядок, симметрию и определенность, а это важнейшие виды прекрасного. Аристотель

Рассмотрим различные виды абстракций и укажем их специфические свойства в математических исследованиях.

АБСТРАКЦИИ ОБОБЩЕНИЯ появляются чаще всего при формировании основных понятий науки, когда в многообразии объектов выделяются их общие свойства, которые и служат предметом ее изучения. Например, вал – обобщенное название всех деталей машины, передающих крутящий момент и поддерживающих вращающиеся детали. Эта деталь является объектом исследования в машиностроении. А такие обобщенные понятия, как число, фигура, множество стали абстракциями математики, развитие представлений о них определяет ее историю на протяжении многих веков.

С именем А. Н. Колмогорова связаны глубокие реформы современного математического образования в России, вызвавшие интерес во многих странах мира.

Понятие множества является сложнейшей абстракцией реального мира. Но уже с появлением теоретико-множественного подхода многие ученые (Кантор, Дедекинд и др.) пришли к выводу, что данное понятие должно быть положено в основу всей математики, – это и происходит сегодня. Большой вклад в развитие теоретико-множественной концепции математики внес академик А. Н. Колмогоров.

ИДЕАЛИЗАЦИЯ – это также важный подход к абстрагированию реальности. Механика, например, рассматривает материальные объекты с идеализированными физическими свойствами, отвлеченными от реальности, но приближенными к ней в определенных ситуациях, (такие как материальная точка, абсолютно твердое тело, гибкая нерастяжимая нить и т. д). Это позволяет в ряде случаев упростить исследование. Такой же прием используется математикой. Геометрическая точка, прямая, плоскость – это тоже идеализированные образы объектов реального мира. Такие образы составляют основу геометрии.

Ни одна проблема не волновала так глубоко человеческий дух, как проблема бесконечного; ни одна идея не влияла на разум так возбуждающе и плодотворно, как идея бесконечности, но, однако, ни одно понятие не нуждается так сильно в выяснении, как идея бесконечности. Д. Гильберт

В процессе изучения математики и естественных наук мы столкнемся с абстракцией ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ОСУЩЕСТВИМОСТИ, приводящей нас к абстракции ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ. Можно ли слиток золота разделить на бесконечное число частей? Теоретически – да. Но практически – наши возможности ограничены молекулярной структурой вещества. Рассматривая идею такого дробления, мы вводим абстракцию потенциальной осуществимости. Деление отрезка на бесконечное число частей – математическая абстракция потенциальной бесконечности. И эта бесконечность воспринимается нами как возможность продолжить этот ряд далее с любого сколь угодно большого числа, т. е. потенциально.

Приведите свои примеры актуальной и потенциальной бесконечности.

Существует и АКТУАЛЬНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ. Расстояние от Солнца до центра нашей Галактики, имеющее порядок 1020 м, можно принять бесконечно большим, если его сравнивать с длиной футбольного поля. Но оно уже не будет таковым в сравнении с расстоянием до Полярной звезды, имеющим порядок 1019 м. Во всякой технической задаче существует свой рубеж, барьер, который характеризует бесконечность, оправданную, актуальную для данной ситуации. В математике актуальная бесконечность рассматривается как завершенный, законченный объект в условиях конкретной постановки задачи: изучая прямую, мы изображаем на чертеже ее отрезок, считая его изображением бесконечной прямой; вычисляя тангенсы углов, мы, начиная с некоторых значений угла, достаточно близких к 90°, полагаем их исключительно большими и определяем ими актуальную бесконечность, исходя из потребности практики.

По сравнению с естествознанием процесс абстрагирования в математике заходит значительно дальше. Можно сказать, что там, где естествознание останавливается, математическое исследование только начинается.

Академиком А. Н. Колмогоровым выделены основные особенности математических абстракций:

1. Абстрагирование в математике выступает, чаще всего, как многоступенчатый процесс. Поэтому в математике весьма часто встречаются абстракции от абстракций.

2. Во всей истории математики можно выделить три больших этапа в развитии ее абстракций: на первом этапе отвлекаются от конкретной, качественной природы объектов, на втором – отвлекаются от конкретных чисел и величин, на третьем этапе, связанном с переходом к современной математике, отвлекаются не только от конкретной природы объектов, но и от конкретного смысла отношений между ними.

3. В математической абстракции широко используются идеальные объекты.

4. Многие системы абстракций в математике, возникнув на базе опыта или даже в процессе чисто логического развития теории, не требуют в дальнейшем обращения к опыту.

Следующая >