3. Случайные величины. Понятие случайной величины

Случайной величиной Называется величина, которая в результате испытаний, проводимых в одних и тех же условиях, принимает различные, вообще говоря, значения, зависящие от не учитываемых случайных факторов. Примеры случайных величин: число выпавших очков на игральной кости, число дефектных изделий в партии, отклонение точки падения снаряда от цели, время безотказной работы устройства и т. п. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной Называется случайная величина, возможные значения которой образуют счетное множество, конечное или бесконечное (т. е. такое множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Непрерывной Называется случайная величина, возможные значения которой непрерывным образом заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал числовой оси. Число значений непрерывной случайной величины всегда бесконечно.

Случайные величины будем обозначать заглавными буквами конца латинского алфавита: X, Y, ...; значения случайной величины – строчными буквами: Х, у, ... . Таким образом, X Обозначает всю совокупность возможных значений случайной величины, а Х – Некоторое ее конкретное значение.

3.1. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Законом распределения дискретной случайной величины называется задаваемое в любой форме соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Пусть возможными значениями случайной величины X Являются . В результате испытания случайная величина примет одно из этих значений, т. е. Произойдет одно событие из полной группы попарно несовместных событий.

Пусть также известны вероятности этих событий:

Закон распределения случайной величины X Может быть записан в виде таблицы, которую называют Рядом распределения Дискретной случайной величины:

X	X1	X2	…	X3
P	P1	P2	…	P3

Для ряда распределения имеет место равенство (условие нормировки).

Пример 3.1. Найти закон распределения дискретной случайной величины X – числа появлений «орла» при двух бросаниях монеты.

Решение. Возможные значения случайной величины: 0, 1, 2. Вероятности этих значений находим по формуле Бернулли:

Записываем ряд распределения:

X	0	1	2
P	0.25	0.50	0.25

3.2. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Функция распределения является универсальной формой задания закона распределения как дискретных, так и непрерывных случайных величин.

Функцией распределения случайной величины X Называется функция F(X), Определенная на всей числовой оси следующим образом:

F(X)= Р(Х < х),

Т. е. F(X) есть вероятность того, что случайная величина X Примет значение меньшее, чем X.

Функцию распределения можно представить графически. Для дискретной случайной величины график имеет ступенчатый вид. Построим, например, график функции распределения случайной величины, заданной следующим рядом (рис. 3.1):

X	0	1	2
P	0.3	0.5	0.2

Рис. 3.1. График функции распределения дискретной случайной величины

Скачки функции происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. В точках разрыва функция F(X) непрерывна слева.

График функции распределения непрерывной случайной величины представляет собой непрерывную кривую.

Рис. 3.2. График функции распределения непрерывной случайной величины

Функция распределения обладает следующими очевидными свойствами:

1) , 2) , 3) ,

4) при .

3.3. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ НА ЗАДАННЫЙ ИНТЕРВАЛ

Будем называть событие, состоящее в том, что случайная величина X Принимает значение Х, Принадлежащее некоторому полузамкнутому интервалу A£ х <B, Попаданием случайной величины на интервал [A, B).

Теорема 3.1. Вероятность попадания случайной величины на интервал [A, B) равна приращению функции распределения на этом интервале:

(3.1)

Если уменьшать интервал [A, B), Полагая, что , то в пределе формула (3.1) вместо вероятности попадания на интервал дает вероятность попадания в точку, т. е. вероятность того, что случайная величина примет значение A:

(3.2)

Если функция распределения имеет разрыв в точке A, То предел (3.2) равен значению скачка функции F(X) в точке Х=A, Т. е. вероятности того, что случайная величина примет значение A (рис. 3.3, А). Если же случайная величина непрерывна, т. е. непрерывна функция F(X), то предел (3.2) равен нулю (рис. 3.3, Б)

Таким образом, вероятность любого конкретного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Однако это не означает невозможности события Х=A, А лишь говорит о том, что относительная частота этого события будет стремиться к нулю при неограниченном увеличении числа испытаний.

А) Б)

Рис. 3.3. Скачок функции распределения

3.4. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Для непрерывных случайных величин наряду с функцией распределения используется еще одна форма задания закона распределения – плотность распределения.

Если – вероятность попадания на интервал , то отношение характеризует плотность, с которой вероятность распределена в окрестности точки X . Предел этого отношения при ,т. е. производная , называется Плотностью распределения (плотностью распределения вероятностей, плотностью вероятности) случайной величины X. Условимся плотность распределения обозначить

Таким образом, плотность распределения характеризует вероятность попадания случайной величины в окрестность точки Х.

График плотности распределения называют Кривой расПределения (Рис. 3.4).

Рис. 3.4. Вид плотности распределения

Исходя из определения и свойств функции распределения F(X), нетрудно установить следующие свойства плотности распределения F(X):

1) F(X)³0

Для непрерывной случайной величины в силу того, что вероятность попадания в точку равна нулю, имеют место следующие равенства:

Пример 3.2. Случайная величина X Задана плотностью распределения

Требуется:

А) найти значение коэффициента А;

Б) найти функцию распределения;

В) найти вероятность попадания случайной величины на интервал (0, ).

Решение, А) Воспользуемся свойством 3:

Отсюда получаем: А=1/2.

Б) Если , То

Если то

Если , то

Таким образом,

В) По свойству 4:

3.5. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Функция распределения или плотность распределения полностью описывают случайную величину. Часто, однако, при решении практических задач нет необходимости в полном знании закона распределения, достаточно знать лишь некоторые его характерные черты. Для этого в теории вероятностей используются числовые характеристики случайной величины, выражающие различные свойства закона распределения. Основными числовыми характеристиками являются Математическое Ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание Характеризует положение случайной величины на числовой оси. Это некоторое среднее значение случайной величины, около которого группируются все ее возможные значения.

Математическое ожидание случайной величины X Обозначают символами М(Х) или Т. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений:

Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется с помощью несобственного интеграла:

Исходя из определений, нетрудно убедиться в справедливости следующих свойств математического ожидания:

1. (математическое ожидание неслучайной величины С Равно самой неслучайной величине).

2. Если ³0, то ³0.

3. .

4. Если и Независимы, то .

Пример 3.3. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, заданной рядом распределения:

X	0	1	2	3
P	0.2	0.4	0.3	0.1

Решение.

=0×0.2 + 1×0.4 + 2×0.3 + 3×0.1=1.3.

Пример 3.4. Найти математическое ожидание случайной величины, заданной плотностью распределения:

Решение.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение Являются характеристиками рассеивания случайной величины, они характеризуют разброс ее возможных значений относительно математического ожидания.

Дисперсией D(X) Случайной величины X Называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания Для дискретной случайной величины дисперсия выражается суммой:

(3.3)

А для непрерывной – интегралом

(3.4)

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Характеристикой рассеивания, Совпадающей по размерноСти со случайной величиной, служит среднее квадратическое отклонение.

Свойства дисперсии:

1) – постоянные. В частности,

В частности,

(3.5)

Заметим, что вычисление дисперсии по формуле (3.5) часто оказывается более удобным, чем по формуле (3.3) или (3.4).

Величина называется Ковариацией случайных величин .

Если , то величина

Называется Коэффициентом корреляции случайных величин .

Можно показать, что если , то величины линейно зависимы: где

Отметим, что если независимы, то

Пример 3.5. Найти дисперсию случайной величины, заданной рядом распределения из примера 1.

Решение. Чтобы вычислить дисперсию, необходимо знать математическое ожидание. Для данной случайной величины выше было найдено: M=1.3. Вычисляем дисперсию по формуле (3.5):

Пример 3.6. Случайная величина задана плотностью распределения

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. Находим сначала математическое ожидание:

(как интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку).

Теперь вычисляем дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

3.6. ПРИМЕРЫ ДИСКРЕТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

1. Биномиальное распределение. Случайная величина , равная числу «УСПЕХОВ» в схеме Бернулли, имеет биномиальное распределение: , .

Математическое ожидание случайной величины, распределённой по биноминальному закону, равно

Дисперсия этого распределения равна .

2. Распределение Пуассона ,

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины с распределением Пуассона , .

Распределение Пуассона часто используется, когда мы имеем дело с числом событий, появляющихся в промежутке времени или пространства, например: число машин, прибывших на автомойку в течении часа, число остановок станков в неделю, число дорожных происшествий и т. д.

3. Геометрическое распределение

Случайная величина имеет Геометрическое распределение с параметром , если принимает значения с вероятностями . Случайная величина с таким распределением имеет смысл Номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха . Таблица распределения имеет вид:

3.7. ПРИМЕРЫ НЕПРЕРЫВНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

1. Равномерное распределение. Плотность Равномерного или Прямоугольного распределения:

Т. е. вероятности всех возможных значений случайной величины одинаковы и равны .

Математическое ожидание случайной величины с Равномерным распределением равно

Дисперсия .

Функция распределения имеет вид , (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Графики плотности и функции равномерного распределения

2. Показательное (экспоненциальное) распределение - Закон, функция плотности распределения которого имеет вид: , где параметр распределения есть действительное число (постоянный параметр) (рис. 3.6).

Функция распределения показательного закона имеет вид:

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по показательному закону, равны соответственно , .

Рис. 3.6. Графики плотности и функции показательного распределения

3. Нормальное распределение. Нормальный закон распределения вероятностей занимает особое место среди других законов распределения. В теории вероятности доказывается, что плотность вероятности суммы независимых или Слабо зависимых, равномерно малых (т. е. играющих примерно одинаковую роль) слагаемых при неограниченном увеличении их числа как угодно близко приближается к нормальному закону распределению независимо от того, какие законы распределения имеют эти слагаемые (центральная предельная теорема А. М. Ляпунова).

Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины имеет вид: , где и – вещественные параметры распределения, имеющие конечные значения, при этом часто используют обозначение .

Функция распределения записывается в виде

Здесь – табулированный интеграл вероятности (значения интеграла можно найти во всех учебниках и задачниках по теории вероятностей). Функция и плотность нормального распределения изображены на рис. 3.7.

подпись:

Рис. 3.7. Графики плотности и функции нормального распределения

Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины равно , дисперсия . Таким образом, параметры и имеют смысл математического ожидания и среднеквадратического значения (отклонения) случайной величины.

Распределение, описываемое функцией , называется Нормальным или Распределением Гаусса.

На рис.3.8 изображены кривые нормального распределения случайных погрешностей для различных значений среднеквадратического отклонения .

Рис. 3.8. Кривые нормального распределения, .

Из рис. 3.8 видно, что по мере увеличения среднеквадратического отклонения распределение все более и более расплывается, вероятность появления больших значений погрешностей возрастает, а вероятность меньших погрешностей сокращается, т. е. увеличивается рассеивание результатов наблюдений.

Широкое распространение нормального распределения погрешностей в практике измерений объясняется Центральной предельной теоремой теории вероятностей, являющейся одной из самых замечательных математических теорем, в разработке которой принимали участие многие крупнейшие математики – Муавр, Лаплас, Гаусс, Чебышев и Ляпунов.

Центральная предельная теорема утверждает, что распределение случайных погрешностей будет близко в нормальному всякий раз, когда результаты наблюдения формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.

Свойства нормального распределения.

А. Если случайная величина .

В. Если случайная величина то

В частности, .

Таким образом, вычисление любых вероятностей для нормально распределённой случайной величины сводится к вычислению функции распределения . Она обладает следующими свойствами:

С. Если , то для любого

D. Правило трех сигм. Если то

Большого смысла в запоминании числа 0.0027 нет, но полезно помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах от до .

Пример 3.7. Дана случайная величина . Найти .

Решение. По формуле свойства В при получаем По таблице для функции Лапласа находим .

Пример 3.8. Случайная величина X – отклонение размера изделия от нормы – нормально распределенная, причём М (Х)= 0. Найти s (Х), если известно, что Р(– 3 < X < 3) = 0.7.

Решение. Р(– 3 < X < 3) = Р( | X | < 3) = = 0.7. Отсюда следует, что , и, используя табличные данные (приложение 1), получаем 3/s =1.4, или s = 3/1.4 » 2.14.

< Предыдущая		Следующая >