6.1. Динамическая задача управления запасами

Задача управления запасами – это задача о поддержании баланса производства и сбыта продукции предприятия, минимизирующего расходы предприятия на производство и хранение продукции.

Предположим, что предприятие, производящее партиями некоторую продукцию, получило заказы на месяцев. Размеры заказов значительно меняются от месяца к месяцу, поэтому иногда лучше выполнять заказы сразу нескольких месяцев, а затем хранить готовую продукцию, пока она не потребуется, чем выполнять заказ именно в тот месяц, когда этот заказ должен быть отправлен. Поэтому необходимо составить план производства на эти месяцев с учетом затрат на производство и хранение изделий.

Примем следующие обозначения:

– номер месяца (); –число изделий, производимых в -ом месяце; – величина запаса к началу -го месяца; – число изделий, которые должны быть отгружены в -ом месяце; – затраты на хранение и производство изделий в -ом месяце.

Тогда, задача состоит в том, чтобы найти план производства , компоненты которого удовлетворяют условиям материального баланса

, где ,

И минимизируют суммарные затраты за весь планируемый период

Причем по смыслу задачи , , при .

Т. к. объем произведенной продукции на этапе может быть настолько велик, что запас может удовлетворить спрос всех последующих этапов и при этом не имеет смысла иметь величину запаса больше суммарного спроса на всех последующих этапах, то переменная должна удовлетворять ограничениям

Полученную задачу можно решить методом динамического программирования, для чего необходимо определить параметр состояния и функцию состояния .

Где

– наличный запас продукции в конце -го месяца (); – минимальные затраты за первые месяцев.

Тогда, минимальные затраты за один первый месяц ():

Следовательно, минимальные затраты при :

, где .

Если при этом функция затрат на хранение и производство изделий в -ом месяце имеет вид:

Где

, при и , при ; – затраты на оформление заказа (переналадку оборудования) в -ом месяце; – затраты на хранение единицы продукции, переходящей из ‑го месяца в месяц ; – затраты на производство (закупку) единиц продукции в ‑ом месяце.

Тогда минимальные затраты за один первый месяц ():

Если ввести обозначение:

То следовательно, минимальные затраты при :

, где .

Допустим, что предприятие заключило договора на поставку своей продукции на три месяца. Исходные данные приведены в таблице 12. При этом исходный запас товара на складе составляет две единицы, т. е .

Таблица 12 – Исходные данные

Период k	1	2	3
Спрос ()	3	2	3
Затраты на оформление заказа ()	4	2	3
Затраты на хранение единицы запаса ()	1	1	1

Предполагается, что затраты на приобретение продукции составляют 5 у. е. за каждую единицу для первых трех единиц и 7 у. е. за каждую дополнительную единицу, т. е.

Положим , тогда:

Тогда, т. к. параметр состояния может принимать значения на отрезке:

Т. е. , при этом каждому значению параметра состояния отвечает определенная область изменения переменной :

Однако на первом этапе объем производства не может быть меньше одной единицы, т. к. спрос , а исходный запас . При этом из балансового уравнения следует, что объем производства связан с параметром состояния соотношением:

Т. е. каждому значению отвечает единственное значение , поэтому:

Тогда:

Значения функции состояния приведены в таблице 13.:

Таблица 13 – Значения функции состояния

0	1	2	3	4	5
9	15	21	29	37	45
1	2	3	4	5	6

Положим , тогда:

Где

Здесь минимум берется по переменной , которая может изменяться в пределах:

Где верхняя граница зависит от параметра состояния , который принимает значения на отрезке:

Т. е. , при этом из балансового уравнения следует, что остаток товара на начало второго месяца связан с объемом производства и с параметром состояния соотношением:

Тогда:

(),

Наименьшие из полученных значений – , т. е.:

Причем минимум достигается при и , т. е.:

и .

Эти значения указываются в результирующей таблице 14.

Аналогично:

()

Таким образом, получим результирующую таблицу (табл. 14).

Таблица 14 – Результирующая таблица

0	1	2	3
21	27	34	41
0	2	3	3	3

Теперь положим, что , тогда:

Где

Если оставлять продукцию к концу третьего периода не нужно, тогда параметр состояния принимает единственное значение , следовательно, переменная может изменяться в пределах:

А из балансового уравнения следует, что остаток товара на начало третьего месяца связан с объемом производства соотношением

Тогда:

(),

Следовательно, получаем:

Причем минимум достигается при , т. е.

Таким образом, получили минимальные общие затраты на производство и хранение продукции и последнюю компоненту оптимального решения

Для нахождения остальных компонент оптимального решения, необходимо воспользоваться обычными правилами динамического программирования.

Тогда, т. к. , то , откуда , следовательно, из таблицы 11.

или .

Аналогично, т. к. , то или , откуда или , следовательно, из таблицы 10.

или .

Следовательно, получен оптимальный план производства, который имеет два варианта:

При этом, каждый вариант оптимального плана производства обеспечивает минимальные общие затраты на производство и хранение продукции в размере 39 денежных единиц.

< Предыдущая		Следующая >