5.5. Распределение капитальных вложений

Задача о распределении капитальных вложений – это нелинейная задача распределения ресурсов между предприятиями одного производственного объединения или отрасли.

Предположим, что указано пунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для чего выделена определенная сумма. При этом известен прирост мощности или прибыли для каждого предприятия, в зависимости от суммы капитальных вложений в это предприятие. Требуется найти такое распределение капитальных вложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли всей отрасли.

Примем следующие обозначения:

– номер предприятия (); – общая сумма капитальных вложений; – сумма капитальных вложений в -ое предприятие; – прирост мощности или прибыли -го предприятия, если оно получит денежных единиц капитальных вложений.

Тогда, задача состоит в том, чтобы найти такие значения , , …, , при которых значение суммарного прироста прибыли или мощности всей отрасли:

Было бы наибольшим, при ограничении общей суммы: , причем будем считать, что все переменные принимают только целые неотрицательные значения, т. е.:

или 1, или 2, или 3, …; .

Эту задачу можно решить методом динамического программирования. Для этого необходимо ввести параметр состояния и функцию состояния ,

Где – некоторое количество предприятий, для которых определяется параметр и функция состояния (); – сумма капитальных вложений, выделяемая нескольким предприятиям (); – максимальный прирост прибыли или мощности на первых предприятиях, если они вместе получат капитальных вложений. Тогда, если из денежных единиц -ое предприятие получит денежных единиц, то остаток денежных средств необходимо распределить между предприятиями от первого до так, чтобы был получен максимальный прирост прибыли или мощности . Следовательно, прирост прибыли или мощности предприятий будет равен и нужно выбрать такое значение между 0 и , чтобы увеличение прибыли или мощности предприятий было бы максимальным, т. е.:

, где .

Если же , то:

Допустим, что производственное объединение состоит из четырех предприятий (n=4). Общая сумма капитальных вложений равна 700 денежных единиц (b=700), при этом суммы выделяемые предприятиям кратны 100 денежным единицам. Значения функций приведены в таблице 6:

Таблица 6 – Значения функций

100	200	300	400	500	600	700
42	58	71	80	89	95	100
30	49	63	68	69	65	60
22	37	49	59	68	76	82
50	68	82	92	100	107	112

Для заполнения таблицы 8 необходимо в таблице 7 сложить значения функции со значениями и на каждой северо-восточной диагонали выбрать наибольшее число (отмечено звездочкой), указав соответствующие значение .

Таблица 8 – Сумма значений функций и

100	200	300	400	500	600	700
42	72	91	107	121	134	143
0	100	200	200	300	300	300

Для заполнения таблицы 10 необходимо в таблице 9 сложить значения функции со значениями и на каждой северо-восточной диагонали выбрать наибольшее число (отмечено звездочкой), указав соответствующие значение .

Таблица 10 – Сумма значений функций и

100	200	300	400	500	600	700
42	72	94	113	129	144	158
0	0	100	100	100	200	200

Теперь, в таблице 11, необходимо сложить значения функции со значениями , но только для значения , т. е. заполнить только одну диагональ:

Наибольшее число этой диагонали показывает максимально возможный суммарный прирост прибыли всех четырех предприятий данного производственного объединения, при общей сумме капитальных вложений в 700 денежных единиц, т. е.:

денежных единиц,