5.1. Линейная производственная задача

Линейная производственная задача – это задача о рациональном использовании имеющихся ресурсов, для решения которой применяют методы линейного программирования. В общем виде задача может быть сформулирована следующим образом:

Предположим, предприятие или цех может выпускать видов продукции, используя видов ресурсов. При этом известно количество каждого вида ресурса, расход каждого вида ресурса на выпуск каждого вида продукции, прибыль, получаемая с единицы выпущенной продукции. Требуется составить такой план производства продукции, при котором прибыль, получаемая предприятием, была бы наибольшей.

Примем следующие обозначения:

­ –­­ номер ресурса (); – номер продукции (); – расход -го ресурса на единицу -ой продукции; – имеющееся количество -го ресурса; – прибыль на единицу -ой продукции; – планируемое количество единиц -ой продукции; – искомый план производства.

Таким образом, математическая модель задачи состоит в том, чтобы найти производственную программу , максимизирующую прибыль:

.

При этом какова бы ни была производственная программа , ее компоненты должны удовлетворять условию, что суммарное использование данного вида ресурса, при производстве всех видов продукции, не должно превышать имеющееся количество данного вида ресурса, т. е.

, где .

Так как компоненты программы – количество изделий, то они не могут быть выражены отрицательными числами, следовательно, добавляется еще одно условие:

, где .

Предположим, что предприятие может выпускать четыре вида продукции (), используя для этого три вида ресурсов (). Известна технологическая матрица затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, векторОбъемов ресурсов и вектор удельной прибыли:

, , .

Тогда математическая модель задачи будет иметь вид:

Найти производственную программу , максимизирующую прибыль:

(20)

При ограничениях по ресурсам:

, (21)

Где по смыслу задачи: , , , .

Таким образом, получили задачу на нахождение условного экстремума. Для ее решения введем дополнительные неотрицательные неизвестные: , , – остаток ресурса определенного вида (неиспользуемое количество каждого ресурса).

Тогда вместо системы неравенств (21), получим систему линейных алгебраических уравнений:

, (22)

Где среди всех решений, удовлетворяющих условию неотрицательности:

, , , , , , ,

Надо найти решение, при котором функция (20) примет наибольшее значение. Эту задачу будем решать методом последовательного улучшения плана – симплексным методом.

Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы (22) неотрицательны, а сама система имеет такой вид, что дополнительные переменные являются базисными. Приравняв к нулю свободные переменные x1, x2, x3, x4, получаем базисное неотрицательное решение:

, , , , , , ,

Первые четыре компоненты которого представляют производственную программу , по которой пока ничего не производится.

Из выражения (20) видно, что наиболее выгодно начинать производить продукцию третьего вида, т. к. прибыль на единицу выпущенной продукции здесь наибольшая, поэтому в системе (22) принимаем переменную x3 за разрешающую и преобразуем эту систему к другому предпочитаемому виду. Для этого составляем отношения правых частей уравнений к соответствующим положительным коэффициентам при выбранной неизвестной и находим наибольшее значение x3, которое она может принять при нулевых значениях других свободных неизвестных, сохранив правые части уравнений неотрицательными, т. е.

.

Оно соответствует первому уравнению в системе (22), и показывает, какое количество изделий третьего вида предприятие может изготовить с учетом объемов сырья первого вида. Следовательно, в базис вводим неизвестную x3, а исключаем оттуда неизвестную x5. Тогда принимаем первое уравнение в системе (22) за разрешающее, а разрешающим элементом будет .

Применив формулы исключения, переходим к новому предпочитаемому виду системы с соответствующим базисным допустимым решением.

Полный процесс решения приведен в таблице 4, где в последней строке третьей таблицы нет ни одного отрицательного относительного оценочного коэффициента

, где , где ,

Т. е. выполняется критерий оптимальности для максимизируемой функции (20).

Таблица 4 – Процесс решения производственной задачи

C	Базис	H	30	11	45	6	0	0	0	Пояснения
0		150	3	2	6	0	1	0	0	X3 – разрешающая переменная X3 ® в базис. Первая строка – разрешающая X5 ® из базиса. Разрешающий элемент = 6
0		130	4	2	3	5	0	1	0
0		124	4	3	2	4	0	0	1
	0		-30	-11	-45	-6	0	0	0
45		25			1	0		0	0	X1 – разрешающая переменная Вторая строка – разрешающая Разрешающий элемент =
0		55		1	0	5		1	0
0		74	3		0	4		0	1
	1125			4	0	-6		0	0
45		14	0		1	-1			0	Все
30		22	1		0	2			0
0		8	0		0	-2			1
	1290		0	7	0	9	6	3	0

При этом каждый элемент симплексной таблицы имеет определенный экономический смысл.

В столбце : значение – показывает, на сколько следует уменьшить изготовление изделия третьего вида, если запланирован выпуск одного изделия первого вида; значения И 3 показывают, сколько потребуется сырья второго и третьего вида, при включении в план одного изделия первого вида. Т. е. при включении в план одного изделия первого вида, потребуется уменьшение выпуска продукции третьего вида на 0.5 единиц, а также потребуются дополнительные затраты 2.5 единиц сырья второго вида и 3 единицы сырья третьего вида, что приведет к увеличению прибыли предприятия на 7.5 денежных единиц.

В столбце : значения,, показывают, что увеличение объема сырья первого вида на единицу позволило бы увеличить выпуск продукции третьего вида на,

,

Что одновременно потребовало бы  единицы сырья второго вида и  единицы сырья третьего вида.

Т. к. в последней строке таблицы 1 нет ни одного отрицательного относительного оценочного коэффициента, то производственная программа, при которой получаемая предприятием прибыль имеет наибольшее значение, найдена, т. к., например, коэффициент при переменной показывает, что если произвести одну единицу продукции второго вида, то прибыль уменьшится на 7 денежных единиц.

Таким образом, получили производственную программу:

, , , ,

Которая является оптимальной и обеспечивает предприятию наибольшую возможную прибыль:

.

При этом первый и второй ресурсы будут использованы полностью, т. е. первый и второй ресурсы образуют «узкие места производства»:

, ,

А третий ресурс будет иметь остаток:

.

Помимо этого в третьей симплексной таблице получен обращенный базис, отвечающий оптимальной производственной программе:

.

Тогда можно проверить выполнение соотношения :

.

Т. к. из третьей симплексной таблицы:

,

Следовательно, соотношение выполняется.

< Предыдущая		Следующая >