22. Застосування операційного числення до задач електротехніки

Методи операційного числення дозволяють розраховувати будь-які процеси в складних електричних ланцюгах при довільній зовнішній напрузі. Ці методи заклав в електротехніку англійський інженер-електрик О. Хевісайд.

Розглянемо простіший випадок: коливальний контур. Як відомо, диференціальне рівняння для струму у коливальному контурі (рис. 26) має вигляд:

, (34)

Де –опір, –індуктивність, –електродвижуча сила.

Рис. 26

Будемо вважати, що в початковий момент струм дорівнює нулю: . Останній член лівої частини рівняння є напруга на обкладках конденсатора; його вираз показує, що при ця напруга дорівнює нулю, тобто в початковий момент заряди на обкладках конденсатора відсутні. Ці початкові умови відповідають задачам вмикання.

Введемо операторний струм і операторну напругу . За теоремою диференціювання оригіналу , тому що , а за теоремою інтегрування . Рівняння коливального контуру перепишемо в операторному вигляді:

Звідки

(35),

де–операторний опір контуру.

Формула (35) називається операторною формою закону Ома.

За знайденим операторним струмом , застосовуючи теорему обернення, можна відновити і сам струм:

В конкретних задачах можна використовувати таблиці оригіналів та зображень.

Нехай в коливальний контур включається постійний струм: . Тоді і формула (35) приймає вигляд:

Якщо знайти дискримінант виразу , одержимо:

1) , ;

2) , ;

3) , .

В першому випадку маємо згасаючі гармонічні коливання, в другому та третьому випадках згасаючі аперіодичні процеси. В третьому випадку струм краще представити в іншому вигляді. Корні тричлена рівні , вони дійсні та від’ємні. Запишемо операторний струм у вигляді:

Знайдемо оригінал для .

Одержимо

Де і .

Звідси видно, що при .

Так же просто розв’язується задача про вмикання в контур синусоїдальної напруги ( в цьому випадку ).

Зупинимося на ролі інтеграла Дюамеля. Нехай в контур вмикається постійна одинична напруга . Тоді і за формулою (35)

, або .

Якщо тепер в контур включити будь-яку напругу , то

(36)

За формулою (29)

Або .

Таким чином, знаючи реакцію контуру на одиничну напругу, ми за допомогою написаних формул зможемо обчислити реакцію контуру на будь-яку зовнішню напругу. В одержані формули не входять ні зображення напруги , ні, що головне, операторний опір контуру . Останнє означає, що ми можемо розрахувати контур, фактично не знаючи його параметрів, якщо тільки експериментально одержали струм –реакцію контуру на одиничну напругу.

Перейдемо до випадку ненульових початкових умов. Будемо вважати, що в початковий момент в контурі є струм , і що на обкладках конденсатора є початковий заряд . Остання умова приводить до деякої зміни диференціального рівняння контуру, саме, до падіння напруги на конденсаторі треба додати постійний доданок , і рівняння має вигляд:

Перейдемо до операторного рівняння і, враховуючи, що тепер , одержимо

Звідки

де , а –операторний опір контуру.

Таким чином, до струму, що визначається операторною формулою , додається ще струм, операторний вираз якого дорівнює . Цей струм відповідає заданим початковим умовам і зветься струмом короткого замикання. Він одержується, якщо в рівнянні контуру прийняти , тобто накоротко замкнути контур.