13. Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна P ( 0 < P < 1) и, следовательно, вероятность его непоявления

Q = 1 - P. Испытания заканчиваются, как только появится событие А. Таким образом, если событие А появилось в K-м испытании, то в предшествующих K – 1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через Х дискретную случайную величину – число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями Х являются натуральные числа х1= 1, х2= 2, …

Пусть в первых K-1 испытаниях событие А не наступило, а в K-м испытании появилось. Вероятность этого “сложного события”, по теореме умножения вероятностей независимых событий, P ( X = K ) = Q K-1P.

Определение5.4: Дискретная случайная величина имеет Геометрическое распределение, если ее закон распределения имеет следующий вид:

P ( X = K ) = Q K-1P , Где .

Замечание1: Полагая K = 1,2,…, получим геометрическую прогрессию с первым членом P и знаменателем Q (0< Q <1). По этой причине распределение называют геометрическим.

Замечание2: Ряд сходится и сумма его равна единице. Действительно сумма ряда равна .

Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель P = 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение: По условию P = 0,6, Q = 1 – 0,6 = 0,4, K = 3. Искомая вероятность равна:

P ( X = 3 ) = 0,42·0,6 = 0,096.

< Предыдущая		Следующая >