11. Биномиальное распределение

Пусть производится N Независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться или не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна P (следовательно, вероятность непоявления Q = 1 - P).

Рассмотрим случайную величину X – число появлений события A в этих испытаниях. Случайная величина X принимает значения 0,1,2,…N с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли: , где K = 0,1,2,…N.

Определение5.2: Биномиальным называют раcпределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.

Пример. По мишени производится три выстрела, причем вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Рассматривается случайная величина X – число попаданий в мишень. Найти ее ряд распределения.

Решение: Случайная величина X принимает значения 0,1,2,3 С вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли, где N = 3, P = 0,8 (вероятность попадания), Q = 1 - 0,8 = = 0,2 (вероятность непопадания).

Тогда

,

Таким образом, ряд распределения имеет следующий вид:

0	1	2	3
0,008	0,096	0,384	0,512

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях N достаточно трудно, поэтому для подсчета соответствующих вероятностей используют локальную теорему Лапласа, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно K раз в N испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Локальная теорема Лапласа: Если вероятность P появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Того, что событие A Появится в N испытаниях ровно K раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше N) значению функции , Где , .

Замечание1: Таблицы, в которых помещены значения функции , даны в приложении 1, причем . Функция является плотностью стандартного нормального распределения (смотри нормальное распределение).

Пример: Найти вероятность того, что событие A Наступит ровно 80 раз в 400 Испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение: По условию N = 400, K = 80, P = 0,2, Q = 0,8 . Вычислим определяемое данными задачи значение X: . По таблице приложения 1 находим . Тогда искомая вероятность будет:

.

Если нужно вычислить вероятность того, что событие A появится в N испытаниях не менее K1 раз и не более K2 Раз, то нужно использовать интегральную теорему Лапласа:

Интегральная теорема Лапласа: Если вероятность P появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Того, что событие A Появится в N испытаниях от K1 До K2 раз, приближенно равна определенному интегралу

, Где И .

Другими словами, вероятность того, что событие A Появится в N испытаниях от K1 До K2 раз, приближенно равна

,

Где , И .

Замечание2: Функцию называют функцией Лапласа (смотри нормальное распределение). Таблицы, в которых помещены значения функции , даны в приложении 2, причем .

Пример: Найти вероятность того, что среди 400 Случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей, если вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2.

Решение: По условию N = 400, P = 0,2, Q = 0,8, K1 = 70, K2 = 100 . Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

; .

Таким образом, имеем:

.

По таблице приложения 2 находим, что И . Тогда искомая вероятность равна:

.

Замечание3: В сериях независимых испытаний ( когда n велико, p мало) для вычисления вероятности наступления события ровно k раз используют формулу Пуассона (смотри распределение Пуассона).

< Предыдущая		Следующая >