Глава 03. Показатели безотказности. Вероятность безотказной работы (ВБР)

Статистическая оценка ВБР (эмпирическая функция надежности) определяется:

(1)

Отношением числа N(t) объектов, безотказно проработавших до момента наработки T, к числу объектов, исправных к началу испытаний (t = 0) - К общему числу объектов N. Оценку ВБР можно рассматривать как показатель доли работоспособных объектов к моменту наработки T.

Поскольку N(t) = N - n(t), то ВБР по (1)

(2)

 где(t) =  n(t)/ N – Оценка вероятности отказа (ВО).

В статистическом определении оценка ВО представляет эмпирическую функцию распределения отказов.

Так как события, заключающиеся в наступлении или не наступлении отказа к моменту наработки t, являются противоположными, то

(t)+(t) = 1

(3)

 Нетрудно убедиться, что ВБР является убывающей, а ВО – возрастающей функцией наработки. Действительно

- в момент начала испытаний T = 0 число работоспособных объектов равно общему их числу N(t) = N(0) = N, а число отказавших - N(t) = n(0) = 0, поэтому  (t) =(0) = 1, а (t) = (0) = 0;

- при наработке T Все объекты, поставленные на испытания, откажут, т. е. N() = 0, а n() = N, поэтому (t) = () = 0, А  (t) =() = 1.

Вероятностное определение ВБР

P(t) = P{T T}.

(4)

 Таким образом, ВБР есть вероятность того, что случайная величина наработки до отказа T окажется не меньше некоторой заданной наработки t.

Очевидно, что ВО будет являться функцией распределения случайной величины T и представляет из себя вероятность того, что наработка до отказа окажется меньше некоторой заданной наработки t:

Q(t) = P{T < t}.

(5)

 Графики ВБР и ВО приведены на рис. 1.

В пределе, с ростом числа N (увеличение выборки) испытываемых объектов, (t) и (t) сходятся по вероятности (приближаются по значениям) к P(t) и Q(t).

Сходимость по вероятности представляется следующим образом:

(6)

Рис.3.1

 Практический интерес представляет определение ВБР в интервале наработки [t, t + T], при условии, что объект безотказно проработал до начала T интервала. Определим эту вероятность, используя теорему умножения вероятностей, и  выделив следующие события:

A = {безотказная работа объекта до момента T};

B = {безотказная работа объекта в интервале T};

C = A·B = {безотказная работа объекта до момента t + T}.

Очевидно P(C) = P(A·B) = P(A)·P(B| A), поскольку события A и B будут зависимыми.

Условная вероятность P(B| A) представляет ВБР P(T, t + T) в интервале [t, t + T], поэтому

P(B| A) = P(t, t + T) = P(C)/ P(A) = P(t + T)/ P(t).

(7)

 ВО в интервале наработки [t, t + T], с учетом (7), равна:

Q( t, t + T ) = 1 - P( t, t + T ) = [ P(t ) - P(t + T ) ] / P(t ).

(8)

< Предыдущая		Следующая >