05. Включение

Теперь мы введем еще два отношения между множествами. Если А и В Суть множества, то говорят, что А включено в В (символическая запись: AB), если каждый элемент множества А является элементом множества В. В этом случае говорят также, что множество А есть подмножество множества В. Далее мы условимся считать выражение «В включает А» (символически: BA) синонимом для «A включено в В». Таким образом, как AB, так и BA означает, что для каждого Х, если ХA, то XВ. Множество А строго включено в В (символически: AВ), или, по-другому, В строго включает А, или А есть истинное подмножество В, если AB и А ≠ В. Например, множество четных чисел строго включено в множество Z целых чисел, а множество Q рациональных чисел строго включает Z.

Основные свойства отношения включения следующие:

XX;

XY и YZ Влечет XZ;

XY и YX Влечет X = Y.

Последнее из этих соотношений выражает в терминах отношения включения два шага в доказательстве равенства двух множеств: для того чтобы доказать, что X = Y, надо доказать, что ХY, а затем что YX.

Для отношения строгого включения справедлив аналог лишь одного из этих трех свойств — второго. Доказательство того, что XY и YZ влекут XZ, составляет предмет одного из упражнений в конце этого параграфа. Там же читатель найдет и другие свойства строгого включения, в том числе вытекающие из свойств отношения включения, частным случаем которого оно является.

Поскольку начинающие склонны смешивать отношения принадлежности и включения, мы при каждом удобном случае будем подчеркивать различия между ними. Заметим сразу же, что аналоги первых двух из перечисленных выше свойств отношения включения для отношения принадлежности не верны. Например, если X есть множество простых чисел, то XХ. Другой пример: хотя 1Z и Z{Z} не верно, что 1{Z}, так как единственный элемент множества {Z} — это множество Z.

Обратимся теперь к рассмотрению подмножеств какого-либо множества, т. е. множеств, включенных в некоторое множество. Образование новых множеств из уже имеющегося множества — процедура, играющая важную роль в теории множеств. Определять подмножества данного множества позволяет принцип абстракции. В самом деле, если Р (х) есть форма от Х и А есть некоторое множество, то форма

XA и P(X)

Определяет то множество, которое мы выше условились обозначать через {XA| P(X)}. Если А — произвольное множество, а в качестве Р (х) мы выберем Х ≠ х, то результат будет {XA| X ≠ X} — это множество, очевидно, не имеет элементов. Из принципа объемности следует, что может быть только одно множество, не имеющее элементов. Мы будем называть это множество пустым множеством и обозначать его через ɸ.

Пустое множество есть подмножество любого множества. Чтобы установить это, надо доказать, что если А есть произвольное множество, то каждый элемент множества ɸ есть элемент множества A. Поскольку ɸ не имеет элементов, это условие выполняется автоматически. Хотя такое рассуждение правильно, в нем есть нечто неудовлетворительное. Имеется и другое, косвенное доказательство, которое может оказаться более удобным. Допустим, что ɸA ложно. Это может быть лишь в том случае, если существует некоторый элемент множества ɸ, не являющийся элементом множества А. Но это невозможно, так как ɸ не имеет элементов. Значит, ɸA не является ложным, т. е. ɸA.

Каждое множество А ≠ ɸ имеет по крайней мере два различных подмножества: само А и ɸ. Кроме того, каждый элемент множества А Определяет некоторое подмножество множества А. Если АА, то {A}А. В некоторых случаях бывает нужно говорить не об отдельных подмножествах некоторого множества, а о множестве всех подмножеств этого множества. Множество всех подмножеств множества А называется множеством-степенью множества А и обозначается через

P (A)

Таким образом, P (A) Есть сокращенное обозначение для

{B| BA}.

Например, если A = {1, 2, 3}, то

P (A) = {А, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, ɸ).

В качестве другого примера различия между отношениями принадлежности и включения мы отметим, что если BA, то В P (A)), а если АА, то {а} P (A).

Термин «множество-степень множества А» в качестве наименования множества всех подмножеств, множества А Ведет свое происхождение от того случая, когда А есть конечное множество; в этом случае для А, состоящего из N Элементов, P (A) имеет 2N элементов. Чтобы доказать это, рассмотрим следующую схему для описания подмножества В Множества А = {а1, ..., аN}: последовательность N нулей и единиц, первый член которой есть 1, если А1 В, и 0, если А1 В, второй член есть 1, если А2 В, и 0, если А2 В, и т. д. Ясно, что каждое подмножество множества А можно поставить в соответствие некоторой такой последовательности нулей и единиц; например, если N = 4, то {а1, а3} определяет последовательность 1010 и само определяется ею.

Поскольку общее количество таких последовательностей равно 2*2*……*2 = 2N, число элементов множества P (A) также равно 2

Упражнения

1. Доказать каждое из следующих утверждений, используя необходимые свойства чисел.

(a) {хZ| Для некоторого у Х = 6у} = {ХZ| для некоторых целых чисел U и V Х = 2U и Х = 3и};

(b) {хR| для некоторого действительного числа у Х = Y2} = {XR| х≥0};

2. Доказать каждое из следующих утверждений для произвольных множеств А, В и С:

(a) Если AВ И ВС, То AС.

(b) Если АВ И ВС, То АС.

(с) Если АВ и BC, то AС.

(d) Если АВ И ВС, То АС.

3. Привести пример множеств A, В, С, D И E, удовлетворяющих одновременно следующим условиям: АВ, ВС, CD и DE.

4. Какие из следующих утверждений верны для всех множеств А, В и С?

(а) Если АВ и ВС, то AC.

(b) Если A ≠ В и В ≠ С, то А ≠ C.

(d) Если AВ и ВС, то не верно, что СA.

(e) Если AВ и ВС то AС.

5. Показать, что для любого множества A ɸA и что Aɸ тогда и только тогда, когда А = ɸ.

6. Пусть А1, A2, ..., АN — п множеств. Показать, что

A1 A2 ….. An A1

Тогда и только тогда, когда

A1 = A2 = ... = An.

7. Привести несколько примеров таких множеств X, для которых каждый элемент множества X Есть подмножество множества X.

8. Перечислить все элементы множества P (A) для множества A = {{1, 2}, {3}, 1}.

9. Для каждого положительного целого числа П указать пример такого множества An состоящего из П элементов, что для каждой пары элементов множества An Один из элементов есть член другого.

< Предыдущая		Следующая >