04. Основные принципы интуитивной теории множеств

Согласно Кантору, всякое множество состоит из некоторых предметов, называемых его членами, или элементами (мы будем пользоваться обоими терминами как синонимами). Требование согласно которому для любого конкретного предмета и любого конкретного множества можно определить, является ли этот предмет элементом данного множества, означает следующее: если первое пустое место выражения «__есть элемент__» заполнено названием предмета, а второе—названием множества,

То предполагается, что о получающемся в результате предложении можно решить, является оно истинным или ложным. Таким образом, принадлежность, или членство, есть отношение между предметами и множествами. Мы будем обозначать это отношение символом Є и писать:

X A

Если предмет Х является элементом множества А. Если же Х не есть элемент множества А, то мы будем писать:

Записью

X1, X2, ….., Xn A

Мы будем пользоваться в качестве сокращения для «X1A и X2A и …. XnA»

В терминах отношения принадлежности канторовское требование, согласно которому множество определяется своими элементами, может быть сформулировано следующим образом.

Интуитивный принцип объемности. Два множества равны в том и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов. Равенство двух множеств X и Y будет обозначаться через

X = Y,

А неравенство множеств X и Y через

Следует уяснить, что принцип объемности есть нетривиальное допущение об отношении принадлежности. Доказательство равенства каких-либо двух конкретных множеств А и В состоит, вообще говоря, из двух частей: в первой части доказывается, что если X A, то X B; во второй — что если X B, то X A. Пример такого доказательства приводится ниже.

То (однозначно определенное) множество, элементами которого являются предметы, X1, X2, ….., Xn , будет обозначаться

{X1, X2, ….., Xn}

В частности, {х} — так называемое единичное множество — есть одноэлементное множество, единственным элементом которого является х.

Примеры А

1. Докажем, что множество А всех положительных четных целых чисел равно множеству В положительных целых чисел, представимых в виде суммы двух положительных нечетных целых чисел. Допустим вначале, что X A, и докажем, что X B. Если X A, то Х = 2M, так что Х = (2M—1)+1. Это и означает, что X B. Предположим теперь, что X B, и выведем отсюда, что X A. Если X B, то Х = (2р—1)+ +(2Q—1), откуда X = 2(P + Q—1), из чего следует, что X A. Таким образом, мы доказали, что множества А и В Состоят из одних и тех же элементов.

2. {2, 4, 6} есть множество, состоящее из первых трех положительных четных целых чисел. Поскольку {2, 4, 6} и {2, 6, 4} состоят из одних и тех же элементов, они являются равными множествами. Кроме того, по той же причине {2, 4, 6} = {2, 4, 4, 6}.

3. Элементы какого-либо множества сами могут быть множествами. Например, географическая область, известная как Соединенные Штаты Америки, есть множество из 50 элементов — штатов, каждый из которых, в свою очередь, есть множество округов. Далее, {{1, 3}, {2, 4}, {5, 6}} есть множество из трех элементов, а именно: {1, 3}, {2, 4} и {5, 6}. Множества {{1, 2}, {2, 3}} и {1, 2, 3} не равны, так как элементами первого являются {1, 2} и {2, 3}, а элементами второго — 1, 2 и 3.

4. Множества {{1,2}} и {1,2} не равны, так как первое — одноэлементное множество, имеющее единственным своим элементом {1,2}, а второе имеет своими элементами 1 и 2. Это иллюстрирует то общее замечание, согласно которому следует различать предмет и множество, единственным элементом которого является этот предмет.

Сделаем небольшое отступление, чтобы пояснить символику, используемую нами при обсуждении теории множеств. Как правило, мы будем пользоваться строчными курсивными латинскими буквами для обозначения элементов, а для обозначения содержащих их множеств будем употреблять (пока) прописные курсивные латинские буквы. Далее, для обозначения множеств некоторых определенных видов мы будем использовать строчные греческие буквы. Если элементы какого-либо множества в свою очередь являются множествами и если мы желаем подчеркнуть это обстоятельство в обсуждении, мы будем употреблять для обозначения таких множеств, содержащих множества, прописные рукописные латинские буквы и будем называть их системами множеств. Например, мы можем в случае необходимости говорить о системе ¥ всех конечных множеств А целых чисел Х. Можно сказать в качестве мнемонического правила, что уровень, занимаемый множеством в рассматриваемой иерархии множеств, определяется размером и фасоном буквы, используемой для его обозначения.

Обозначение множества с помощью фигурных скобок, употребительное для явного задания множеств, составленных из небольшого числа элементов, слишком громоздко, чтобы его использовать для задания множеств, имеющих хотя и конечное, но большое число элементов, и вовсе неприменимо для бесконечных множеств (множеств, имеющих бесконечно много элементов). Как можно задать множество, состоящее из большого числа элементов? Имеется инстинктивная тенденция различать конечные и бесконечные множества, исходящая из того, что конечное множество можно фактически представить в виде некоторой полностью составленной совокупности, а бесконечное — нельзя. Однако обширные конечные множества (например, описанное в § 1.1 множество книг) в той же мере «неисчерпаемы», как и любое бесконечное множество. Такого рода примеры приводят нас к заключению, что проблемы эффективного описания какого-либо обширного конечного множества и описания бесконечного множества практически представляют собой одну и ту же проблему.

Обычное решение этой проблемы, исходящее от Кантора, основано на понятии «формы от Х». Пока мы ограничимся следующим интуитивным описанием. Будем понимать под высказыванием повествовательное предложение, которое можно охарактеризовать как истинное или ложное. Тогда под формой от х мы будем понимать конечную последовательность, состоящую из слов и символа х, такую, что если каждое вхождение х в эту последовательность заменить одним и тем же именем некоторого предмета соответствующего рода, то в результате получится высказывание. Например, каждое из следующих выражений есть форма от х:

5 делит Х; X2 + X + 1 > X

Х любит Джона; х2 = 2.

Х < X

Напротив, ни одно из следующих выражений формой от Х не является:

Для всех Х х2 — 4 = (X — 2)(X + 2);

Существует такое Х, что Х2 0.

Каждое из них попросту является высказыванием. С точки зрения грамматики форму от х можно определить и по-другому — как предложение,

В котором что-то утверждается об Х. Ясно, что каждое предложение первого из приведенных списков обладает этим качеством, предложения же из второго списка не обладают им. Еще один, отличный от предыдущих подход к понятию формы использует понятие функции — так, как оно употребляется в элементарной математике. Форма от х может быть определена как функция одной переменной Х, значениями которой (при надлежащим образом выбранной области определения функции) являются высказывания.

Мы будем пользоваться прописными латинскими буквами, стоящими перед символом (Х) для обозначения форм от Х. Если в некотором конкретном контексте Р (х) обозначает какую-либо определенную форму, то Р (а) будет обозначать ту же самую форму, но с заменой Х на А.

Наша цель описывать множества в терминах форм достигается с помощью следующего принципа.

Интуитивный принцип абстракции. Любая форма Р (х) определяет некоторое множество А посредством условия, согласно которому элементами множества А являются в точности такие предметы а. что Р (а) есть истинное высказывание.

Поскольку множества, состоящие из одних и тех же элементов, равны, то любая данная форма Р (х) определяет в точности одно, вполне определенное множество, обычно обозначаемое в математике через

{X | P (X)}

Что читается так: «множество всех таких х, что Р (х)». Таким образом, A {X | P (X)} В том и только в том случае, если Р (а) — истинное высказывание. Можно сказать, что решение вопроса, является ли данный предмет а элементом множества {X | P (X)}, есть решение вопроса, обладает ли а некоторым определенным свойством (качеством). Поэтому, когда какую-нибудь форму от Х, Р (х), используют для построения некоторого множества, ее обычно называют свойством X - a (propertY of X) или, по-другому, определяющим свойством множества {X | P (X)}. В таком случае принцип абстракции можно сформулировать в виде утверждения: «Каждое свойство определяет некоторое множество».

Мы допускаем возможность вхождения в форму от Х других символов, отличных от Х. Если Р (х) есть форма от X, а Y — символ, не входящий в Р(х), то свойства Р(х) и Р(у) неразличимы, так что {X | P (X)}{х| Р(х)} = {Y | P (Y)}.Равенство это, однако, не обязательно справедливо в том случае, когда у входит в Р (х). Например,

{X |X Делится на U} = {Y |Y Делится на U},

Но

{X |X Делится на U} ≠ {Y |Y Делится на U}.

С другой стороны, если F (х) и G (х) — два свойства, такие, что F (х) справедливо для х тогда и только тогда, когда G (X) справедливо для х, то согласно принципу объемности {X | F (X)} = {X | G (X)}. Например,

{X | X A и X B} = {X | X B и X A}

{X | X Z+ и X < 5} = {X | X Z+ и (X + 1)2 ≤ 29}.

Примеры В.

I. Введение в обращение бесконечных множеств с помощью определяющих их свойств — процедура, хорошо знакомая каждому, изучавшему аналитическую геометрию. Обычное определение таких геометрических мест, как, скажем, конические сечения, придется слегка переформулировать. Например, окружность радиуса 2 с центром в начале координат есть множество всех таких Х, что Х есть точка плоскости и Х Находится на расстоянии в две единицы от начала координат.

2. Легко видеть, что следующие выражения представляют собой множества, определенные посредством некоторых свойств:

(a) {х |х есть целое число, большее 1 и не имеющее делителей, меньших или равных Х½};

(b) {х |х есть положительное целое число, меньшее 9};

(d) {X |X есть функция, непрерывная на замкнутом отрезке от 0 до 1}.

3. {х |х = х1 или Х = х2 или... или Х = хN) есть множество, которое мы выше договорились обозначать через {X1, X2, ….., Xn}.

4. В некоторых случаях язык позволяет нам дать более краткое определение какого-либо конечного множества, чем-то, которое получается перечислением его элементов. Например, некоторое конкретное множество из 100 людей может быть более коротко определено с помощью свойства «х — сенатор», нежели перечислением имен его элементов.

Упражнения.

1. Объясните, почему 2 {1, 2, 3}.

2. Верно ли, что {1, 2} {{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2}? Ответ обосновать.

3. Попробуйте указать множество, являющееся своим собственным элементом.

4. Приведите пример таких множеств A, B и C, что A B, B C, но не A C.

5. Опишите словесно каждое из следующих множеств:

(a) {X Z| X делится на 2 и X делится на 3};

(b) {X| X A И X B};

(d) {X Z+| X {X Z для некоторого целого Y, X = 2Y} и X {X Z| для некоторого целого Y, X = 3Y}}.

(e) {X2| X – простое число};

6. Докажите, что для любых, не обязательно различных между собой предметов A, B, C и D {{A}, {A, B}} = {{C}, {C, D}} в том и только в том случае, когда A = C и B = D.

< Предыдущая		Следующая >