09. Отношение порядка

Определение. Отношение r в множестве Х, удовлетворяющее условиям:

1) хrх для "хÎХ (рефлексивность);

2) из хrу и уrх следует, что х=у (Антисимметрия);

3) из хrу и уrz следует, что хrz (транзитивность).

Называется Частичным порядком на Х.

Пример. 1) Обычное отношение £ (или ³) на множестве всех чисел;

2) х является целым кратным у, где х и у из N;

3) отношение включения для множеств на множестве всех подмножеств.

Определение. Отношение r на Х, удовлетворяющее условиям:

1) хrх для "хÎХ;

2) из хrу и уrz следует хrz.

Называется Предпорядком.

Пример. На некотором множестве людей отношением предпорядка являются: а) рост одного человека больше или равен росту другого; б) вес одного человека больше или равен весу другого.

Если на множестве Х задано отношение предпорядка r, то полагая, что хsу, если хrу и уrх, получим отношение эквивалентности s на Х (проверить самостоятельно). Эквивалентность s разбивает Х на классы эквивалентности [x]. Обозначим через [X] - множество всех классов эквивалентности в Х. На [X] предпорядок r порождает отношение частичного порядка t по правилу [x]t[y], если $ х1Î[x] и у1Î[y]: x1rу1. Если х2Î[x], то х2sх1, т. е. х2rх1 и х1rу1, следовательно, х2rу1. Последнее означает, что [x]t[y] тогда и только тогда, когда для "хÎ[x] и "уÎ[y] выполняется хrу. Проверьте самостоятельно, что t является отношением частичного порядка на [X].

Определение. Отношение r в Х называется Строгим порядком, если это отношение обладает свойствами

1) отношение хrх не верно ни для одного хÎХ (Иррефлексивность);

2) из хrу и уrz следует хrz.

Если на множестве Х задан частичный порядок r, то он порождает на Х отношение строгого порядка t по правилу: хtу тогда и только тогда, когда хrу и х¹у. Верно и обратное: отношение строгого порядка порождает отношение частичного порядка (каким образом?).

Таким образом, наличие одного из порядков, частичного или строгого, автоматически порождает на том же множестве наличие и другого порядка. Следовательно, можно говорить лишь о наличии порядка на множестве, имея ввиду, что тогда на этом множестве есть и частичный, и строгий порядки.

Множество Х, на котором введено отношение частичного порядка r, называется линейно упорядоченным (или цепью), если для "х, уÎХ выполнено одно из отношений: либо хrу, либо уrх.

Пусть Х - множество с частичным порядком r, а МÍХ. Тогда уÎХ называется Левой гранью множества М, если уrх для "хÎМ. Если же zÎХ и хrz для "хÎМ, то z называют Правой гранью множества М.

Определение. уÎХ называется Точной левой гранью множества МÍХ, если

1) уrх для "хÎМ;

2) zrу для "zÎХ: zrх.

Определение. уÎХ называется Точной правой гранью множества МÍХ, если:

1) хrу для "хÎМ;

2) уrz для "zÎХ: zrх.

Определение. уÎМ называется Правым экстремальным (левым) элементом множества МÍХ, если: хrу (соответственно, уrх) для "хÎМ.

Задачи.

1. Показать, что если r является отношением частичного порядка, то r-1 также есть частичный порядок.

2. На множестве всех непрерывных функций на отрезке [а, в] введем отношение f=О(g)по определению: для всех хÎ[а, в] выполняется неравенство f(х)£Мg(х) для некоторого М. Показать, что таким образом введеное отношение является предпорядком.

3. Доказать, что отношение mµn, если n делится на m, является отношением порядка на N. Проверить, что для всякого конечного множества АÍN в этом упорядочении существует точные грани.

< Предыдущая		Следующая >