11. Примеры решения задач

Задача1. Задача о встрече. Два лица А и В условились встретиться в определенном месте между 12 часами и часом дня. Пришедший первым ждет другого в течении 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти наудачу и моменты прихода независимы.

Решение: В данном случайном эксперименте случайны моменты прихода лиц А и В. Обозначим их через и соответственно. Тогда множество элементарных исходов можно представить так: . Для того, чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы (1/3 часа = 20 мин.), т. е. множество элементарных исходов, благоприятствующих наступлению интересующего нас события, запишется следующим образом: Изобразим и как декартовы координаты на плоскости. Возможные исходы изобразятся точками квадрата со стороной, равной по длине единице.

Исходы, благоприятствующие событию А, представляют из себя заштрихованную область на рис. 3. Искомая вероятность равна отношению площади Заштрихованной фигуры к площади всего квадрата, т. е.

Ответ: Р(А)=5/9.

Задача 2. Парадокс Бертрана. Наудачу берется хорда в круге. Чему равна вероятность того, что ее длина превосходит длину стороны вписанного равностороннего треугольника?

Решение1. По соображениям симметрии

можно заранее задать направление хорды.

Проведем диаметр [А, В], перпендикулярный

К этому направлению. Очевидно, что только хорды, пересекающие диаметр в промежутке от четверти до трех четвертей его длины, будут превосходить стороны правильного треугольника (рис. 5 ).

Таким образом

Решение 2. По соображениям симметрии можно заранее закрепить один из концов хорды на окружности. Касательная к окружности в этой точке и две стороны правильного треугольника с вершиной в этой точке образуют три угла по (рис.6). Условию задачи удовлетворяют

Только хорды, попадающие в

Средний угол. Таким образом получим:

Решение 3. Чтобы определить положение хорды, достаточно задать ее середину.

Чтобы хорда удовлетворяла условию задачи, необходимо, чтобы

Ее середина находилась внутри круга, концентрического данному, но

Половинного радиуса (рис. 7). В этом случае имеем:

Мы должны теперь выяснить, в чем причина неоднозначного решения нашей задачи. Лежит ли причина в принципиальной невозможности определения вероятности для случаев бесконечного числа возможных исходов или же причина в том, что мы приняли в процессе решения какие-либо недопустимые предпосылки.

Дело, как легко усмотреть, заключается в том, что за решение одной и той же задачи выдаются решения трех разных задач. Это происходит потому, что в условии не определено понятие проведения хорды наудачу.

< Предыдущая		Следующая >