6.3. Метод Гаусса с выбором главного элемента

Выделение главного элемента необходимо в тех случаях, когда элементы матрицы близки к нулю, так как при делении на такое число получаются большие числа, а арифметические операции с такими числами может привести к потере точности вычисления, особенно для матриц больших размеров, либо система имеет какой-нибудь из главных миноров матрицы А равным 0.

Рассмотрим Модифицированный метод Гаусса с выбором главного элемента. Основная идея метода состоит в том, чтобы на очередном шаге исключать не следующее по номеру неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором является наибольшим по модулю, при этом возможно три вида выбора:

1) по строке,

2) по столбцу,

3) по главным минорам.

В первом случае на каждом K -М шаге ищем максимальный по модулю элемент |Ak,J | в K -Й строке. И если J ≠ K, То переставляем местами K -Й и J -Й столбцы матрицы коэффициентов A И K -Й и J -Й индекс (а не значения) вектора неизвестных X (определите вначале вектор индексов как Index(I)=I, I=1,…,N, И для него уже делайте перестановку K -Го и J -Го элемента).

Во втором случае на каждом K -М шаге ищем максимальный по модулю элемент |Al,K| в K -М столбце. И если L ≠ K, То переставляем местами K -Ю и L -Ю строки матрицы коэффициентов A И K -Й и L -Й элемент вектора F.

В третьем случае на каждом K -М шаге ищем максимальный по модулю элемент |Al,J | в матрице A, Исключая следующие (K-1) - й столбец и (K-1) -Ю строку (т. е. по оставшемуся минору). И ставим этот элемент на K -Е место, делая аналогичные перестановки, как сказано выше.

А далее, по алгоритму метода Гаусса проводим исключение переменной Xk Из матрицы, образованной после одной из перечисленных выше перестановок.

Решение Xi ищем с теми индексами I, в каком порядке они были переставлены (если использовали первый и третий вид выбора главного элемента). Например, перестановка 1-го и 2-го столбцов в матрице A, даст следующий порядок для нахождения решения: сначала Xn, Потом Xn-1,…, X3, X1, X2 (в формулах метода Гаусса в обратном ходе для вектора X примените вместо его порядкового номера I Соответствующий элемент вектора индексов Index(I)).

< Предыдущая		Следующая >