6.1. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Обусловленность матрицы

При исследовании численных методов для решения математических задач необходимо различать свойства самой задачи и свойства вычислительного алгоритма. Для каждой математической задачи принято рассматривать вопрос о ее корректности.

Определение. Говорят, что задача поставлена корректно, если ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от входных данных.

Рассмотрим систему

A X = F , (6.1)

Где А - квадратная, неособенная матрица размерности N, и, следовательно, det(A) ≠ 0, тогда существует единственное решение системы. Чтобы убедиться в корректности задачи (6.1) необходимо еще установить непрерывную зависимость решения от входных данных. Входными данными являются правая часть F и элементы матрицы А.

Соответственно, различают устойчивость по правой части, когда возмущается только правая часть F , а матрица А остается неизменной, и коэффициентную устойчивость, когда возмущается только матрица А .

Будем считать, что решение и правая часть задачи (6.1) принадлежат линейному пространству H, состоящему из N-мерных векторов. Введем в H норму, для которой выполнено:

||X||>0, для всех Х≠0H ,

||α X||=| α| ||X||, для любого числа А и ХH ,

||X+Y||≤||X||+||Y||, для любых X и YH .

Определение. Нормой матрицы А, подчиненной данной норме векторов, называется число , для всех Х≠0H .

Наряду с системой (6.1) рассмотрим «возмущенную» систему A Xε = Fδ , которая отличается от (6.1) правой частью. Насколько сильно может измениться решение Х В результате изменения правой части?

Обозначим δx=X - Xε,, δf=F - Fδ.

Определение. Говорят, что система (6.1) устойчива по правой части, если при любых F и Fδ Справедлива оценка || δx||≤ M || δf ||, где M - постоянная, M >0.

Эта оценка выражает факт непрерывной зависимости решения от правой части, то есть показывает, что || δx|| Стремится к нулю при || δf ||Стремящемся к нулю. Наличие устойчивости очень важно при численном решении систем уравнений, так как никогда нельзя задать правую часть F точно. Погрешность δf возникает в результате округления.

Получим оценку для относительной погрешности решения . Используем неравенство ||F|| ≤ ||A|| ||X|| . Перемножим его с неравенством ||δx||≤ ||A-1|| || δf ||, получим требуемую оценку

.

Определение. Число ρ(A)= называется числом обусловленности матрицы A и характеризует степень зависимости относительной погрешности решения от относительной погрешности правой части. В случае самосопряженной матрицы A =A* это число равно

ρ(A)=,

Где λMax , λmin – максимальное и минимальное по модулю собственные значения матрицы A.

Матрицы с большим числом обусловленности называются плохо обусловленными. При численном решении систем с такими матрицами возможно сильное накопление погрешности. При небольших изменениях правой части погрешность решения может оказаться значительной.

Например, для матрицы

Число обусловленности ρ(A)=, И если взять за правую часть системы вектор F= (1,0000, 1,0000)T, то получим решение X=(0,3333, 0,0000)T. Решение «возмущенной» системы с правой частью Fδ = (0,9998, 1,0000)T равно Xε=(5,0000, 2,0000)T.

Если взять матрицу

И за правую часть системы вектор F= (1,0000, 0)T, то получим решение . Решение «возмущенной» системы при изменении коэффициента a22 = 0,421 на 0,433 равно Xε = (47,983, -86,879)T.

< Предыдущая		Следующая >