5. Функции многих переменных, их обозначение и область определения

Большое количество экономических ситуаций сводится к нелинейным задачам. Во многих экономических исследованиях зависимости между переменными и факторами лишь в первом приближении можно считать линейными, более детальное рассмотрение, необходимость получить более точное решение приводит исследователя к нелинейным зависимостям, нелинейным задачам. Как правило, такие показатели, как прибыль, издержки производства, капитальные затраты, инвестиции в финансовые активы и другие в действительности зависят от объема производства, расхода ресурсов и т. п., нелинейны. Кроме того, принятие решений часто происходит на основе прогнозных данных, включающих оценку рисков, связанных с объемами реализации, поведением потребителей, финансовыми потоками и т. п., которые также представляют собой нелинейные зависимости, вместе с тем они представляют собой функции многих переменных. Целевые функции нелинейных экономических задач также являются функциями многих переменных.

Здесь рассматриваются нелинейные функции многих переменных, изучаются основные математические задачи, использующие функции многих переменных и находящие широкое применение в экономической практике.

Результат экономической деятельности зависит от объемов используемых ресурсов, количество которых, как правило, больше одного; спрос потребителя формируется в зависимости от его предпочтений на отдельные товары, которых существенно больше одного; результат инвестиционной деятельности в финансовые активы зависит от разнообразия ценных бумаг и т. д.

Все перечисленные случаи, а также многие другие, исследуются с помощью функций многих переменных.

Определение. Переменная U называется Функцией N переменных (аргументов) х1 ,..., Хп, если каждой системе значений х1 ,..., Хп, из области их изменения, соответствует определенное значение U.

Обозначение. U=F(х1 ,..., Хп) – функциональная зависимость U от х1 ,..., Хп, где после символа функции (которым может быть не только буква F, но и другие буквы) в скобках указываются все переменные, от которых зависит данная функция.

Независимые переменные (х, у) могут рассматриваться как точки на плоскости, а множество определения - как подмножество точек плоскости. Приведем несколько примеров.

Пример 25. Линейная функция двух переменных:

Z = F(х, у) = ах + BУ + с,

Где Х, у - независимые переменные; А, B, с - постоянные величины (параметры); Z=F(х, у) - значение функции. Областью определения является вся плоскость, так как для любой пары чисел (х, у) выражение  Ах + BУ + с  Определено. Например, величина стоимости покупки двух товаров по заданным ценам 20 р., 30 р. в зависимости от объема покупки (х, у) описывается линейной функцией:

Z = F(х, у) = 20х + З0у.

Пример 26. Квадратичная функция двух переменных:

Z = F(х, у) = ах2 + bу2 + сху + DХ + еу + T,

Где Х, у - независимые переменные; А, B, с, D, е, T - заданные постоянные величины (параметры); F - значение функции. Областью определения является вся плоскость, так как для любой пары чисел (х, у) выражение Z = F(х, у) = ах2 + bу2 + сху + DХ + еу + T  определено. Квадратичные функции находят применение при выборе варианта инвестиционных вложений, построения функции полезности потребителя, анализе уровня совокупных издержек в зависимости от объемов выпуска и т. п.

Практически любая производственная деятельность связана с использованием различных видов ресурсов. Затраты на ресурсы обусловлены их количеством и ценой. При этом для одних процессов производства все затраты на ресурсы меняются в зависимости от объемов выпуска продукции, для других - часть изменяется вместе с объемами выпуска, а часть (для определенного, достаточно широкого интервала изменения объема выпуска) остается неизменной.

Изменение уровня затрат от объемов производства носит линейный, а чаще нелинейный характер. Стоимость затраченных ресурсов складывается из цен на них, объемов использования, уровня технологии, объемов выпуска, организации производства и т. п.

Удобно производить анализ изменения затрат, выразив стоимость затрат либо как функцию объемов затраченных ресурсов, либо как функцию объемов выпуска разных видов продукции, либо как функцию цен на ресурсы и т. д. Как можно подойти к построению таких зависимостей? Рассмотрим следующую ситуацию. Предположим, что оценивается объем затрат одного ресурса, используемого для выпуска двух видов продукции, причем для выпуска единицы каждого вида продукции требуется ресурс в объемах A и B, соответственно, плюс постоянные затраты, не зависящие от величины выпуска, равные С. Процесс производства таков, что с ростом выпуска переменные затраты растут прямо пропорционально. Тогда общий уровень затрат, необходимый для выпуска продукции в объемах Х, у, описывается линейной функцией вида:

F(х, у) = ах + BУ +с.

Если технологический процесс таков, что с ростом выпуска переменные затраты растут пропорционально квадрату объемов выпуска, тогда общий уровень затрат, при прочих равных условиях, описывается следующей нелинейной функцией:

F(х, у) = ах2 + BУ2 + с,

Где Х, у - объемы выпускаемой продукции каждого вида.

Некоторые конкрет­ные функции многих переменных хорошо знакомы.

Пример 27. Приведем несколько простых примеров.

 объем прямоугольного параллелепипеда V = аBС,

Где А, B, с — Его длина, ширина и высота, т. е. объем прямоугольного параллелепи­педа есть функция трех его измерений;

 по формуле Герона площадь треугольника  

Где А, B, с — длины трех его сторон, а Р= (а + B + С)/2 — Полупе­риметр, т. е. площадь треугольника есть функция трех аргументов — длин трех его сторон;

 сила гравитационного притяжения между двумя телами ,

Где M, М — Массы тел, R — расстояние между ними и  — гравита­ционная постоянная.

Все это — примеры функций трех независимых аргументов или переменных. Независимыми Аргументы называются потому, что зна­чение, принятое одним из них, не определяет значений, которые могут принять другие аргументы.

Пример 28. Рассмотрим еще примеры функций многих переменных:

 предприятие производит П Видов продукции, которые реализует по ценам P1, … Pn; при объемах реализации Х1, ..., хп Выручка W = P1X1 +... +рNХп;

 определитель (A) квадратной матрицы размера 2 есть функция всех четырех элементов этой матрицы; пусть

Квартирная плата зависит от метража жилой или всей площади, от числа жильцов, от тарифов на электричество, газ, воду холодную и горячую, от льгот, которые имеют жильцы, но если для двух квар­тир в доме все эти показатели одинаковы, то и плата одна и та же; значит, размер квартирной платы есть функция от этих показате­лей;

 налог, который должна заплатить фирма, рассчитывается по специ­альной методике, но если у двух фирм показатели одинаковы, то и налог должен быть одинаковым; значит, величина налога есть функ­ция от этих показателей.

Также как и функцию одной переменной, функцию нескольких переменных можно задавать различными способами: аналитическим, табличным, графическим. Заметим, что не всегда одну и туже функцию можно задать сразу несколькими способами.

Геометрически каждая система значений двух переменных X, Y изображается Точкой на плоскости, а функция двух переменных Z=F(X, Y) – некоторой Поверхностью в пространстве; система значений трех переменных X, Y, Z изображается Точкой в пространстве.

Система значений четырех и большего числа переменных не имеет геометрического изображения. Однако, в целях общности, для упрощения записей и рассуждений, Систему значений любого числа N переменных х1 ,..., Хп называют Точкой N-мерного пространства M(х1 ,..., Хп), а функцию U, зависящую от N переменных, называют функцией точки N-мерного пространства U=F(х1 ,..., Хп)=F(M).

Определение. Графиком функции U=F(M) называется совокупность точек (M, F(M)), М{МN}. Графиком функции U=F(M) является гиперповерхность в пространстве Rm+1.

Пример 29. Пусть задана линейная функция двух переменных:

Z = F(х, у) = -2х - 5у + 20.

Известно, что графиком линейной функции двух переменных является плоскость в трехмерном пространстве. Плоскость в пространстве определяется тремя точками. Другими словами, чтобы изобразить графически плоскость, достаточно найти в пространстве три точки, которые лежат на плоскости, и через них провести плоскость.

Найдем координаты точек, в которых график функции пересекает координатные оси. У точки, лежащей на оси ОХ, вторая и третья координаты нулевые. Первая координата - Х находится из соотношения

0 = -2х + 20, Т. е. х = 10.

Таким образом, график функции пересекает ось ОХ в точке с координатами (10, 0, 0). Аналогичным образом определяются координаты точек пересечения графика функции с координатными осями ОУ и ОZ. Так, точка пересечения с осью ОУ имеет нулевые координаты: первую и третью, а вторая находится из условия:

0 = - 5у + 20, или, У = 4.

Точка пересечения графика с осью ОУ имеет координаты (0, 4, 0). Точка пересечения графика функции с осью ОZ Имеет нулевые координаты: первую и вторую, третья координата находится из соотношения:

Z = 20.

Итак, точка пересечения графика с осью OZ имеет координаты (0, 0, 20). Теперь достаточно через найденные точки провести плоскость, которая и является графиком функции:

Z = - 2х - 5у + 20.

На рис. 21 представлена часть плоскости (графика функции), которая находится в первом квадранте координатного пространства.

 

Изображенный на рис.21  график соответствует неотрицательным значениям переменных Х и У.

Пример 30. Пусть задана функция:

Z = (х - 2)2 + (у - 4)2.

Эта функция является частным случаем квадратичной функции. Для построения графика воспользуемся следующими соображениями. Рассмотрим множество точек  (х, у), таких, что значения функции в этих точках одинаковые, например, равные 1:

{(х, у): (х-2)2 + (Y-4)2 = 1}.

Известно, что множество таких точек образует на плоскости окружность с центром в точке с координатами (2,4) радиуса 1 . Это значит, что точки с координатами  (х, у, 1), при условии, что переменные Х, у удовлетворяют условию:

(х - 2)2 + (у-4)2 = 1,

Принадлежат графику функции. Заметим, что функция Z = 1 является частным случаем линейной функции  при А = B = 0, с = 1.

Графиком функции Z = 1 является плоскость, параллельная плоскости ХОУ и отстоящая от нее на единицу. Таким образом, приходим к следующему способу построения графика функции. Последовательно на плоскостях Z=, где  - заданные числа, строим окружности:

(х - 2)2 + (у -4)2 =

Радиуса с центром в точке (2, 4), изменяя  от 0 до +. Таким образом, получаем искомый график, рис. 22. Заметим, что при Х=2, у=4 значение функции равно нулю, т. е. при Z=0 - уравнении плоскости ХОУ - окружность вырождается в точку.

При (х - 2)2 + (у – 4)2 = , плоскость Z= можно рассматривать в качестве сечения поверхности графика этой плоскостью, в результате чего получается окружность.

Полученная поверхность называется параболоидом.

Приведенные построения показывают, что построение графиков функций двух переменных – задача достаточно сложная, требующая в каждом конкретном случае дополнительных соображений.

Определение. Областью определения (существования) функции называется совокупность всех точек, в которых она имеет определенные действительные значения.

Для функции двух переменных Z=F(X, Y) область определения представляет некоторую совокупность точек плоскости, а для функции трех переменных U=F(X, Y, Z) – некоторую совокупность точек пространства.

Пример 31. На рис. 23 изображена область изменения переменных x, y,

Заданная двойным неравенством 4  х2+у2  9.

Пример 32. Найдем область определения функции:  Находим область определения из условия:  Она изображена на рис. 24.

Исследования функций, если нет дополнительных требований, происходят в области определения функции. Однако экономические ситуации, как правило, предъявляют дополнительные требования к области изменения переменных, которые заметно уменьшают область определения.

Определение. Области изменения переменных,  на которых изучаются функции, называются Допустимыми множествами.

Среди допустимых множеств особенно выделяются так называемые выпуклые множества.

Определение. Множество Х называется Выпуклым, если вместе с любыми двумя точками ему принадлежит отрезок, соединяющий эти точки.

На рис. 25 и 27 приведены примеры выпуклых множеств двумерного пространства, на рис. 26 и 28 – примеры невыпуклых множеств.

Множество на рис. 26 не выпукло, так как существуют точки N и M, такие, что на отрезке, их соединяющем, имеется точка, например, точка А, которая не принадлежит множеству.

Утверждение. Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством.

< Предыдущая		Следующая >