23. Необходимое условие экстремума функционала

Как мы знаем, для дифференцируемой функции нескольких переменных необходимым условием экстремума является равенство нулю всех частных производных (2.16) или полного дифференциала (2.17). Для функционалов частные производные не определены, а аналогом дифференциала является вариация.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума функционала). Если варьируемый функционал J(Y) достигает экстремума на Y0(X) - "внутренней" функции области определения функционала, то вариация функционала на этой функции равна нулю: dJ(Y0(X))=0.

Под внутренней функцией мы понимаем такую, которая не лежит на границе области определения, т. е. такую, для которой вариация может быть и положительной, и отрицательной.

Доказательство теоремы 1. Пусть функционал J(Y(X)) достигает экстремума на Y0(X) - "внутренней" функции области определения функционала. Выберем функцию h(X) настолько малой, чтобы при любых малых a функции вида V(a)=J(Y0(X)+ah(X)) находились в области определения и при положительных, и при отрицательных a. Значению a=0 соответствует J(Y0(X))=V(0) - экстремальное значение. Необходимое условие экстремума функции одной переменной V(a) - это равенство нулю её производной: V(0)=0. Но по (2.33-2.34) это соответствует тому, что равна нулю вариация функционала.

Замечание 1. Эта теорема также имеет место, если функционал зависит не от одной, а от нескольких функций. Для доказательства достаточно зафиксировать все функции, кроме одной, на экстремалях. Тогда функционал будет зависеть только от одной функции, и будет достигать экстремума, когда его вариация по этой функции будет равна нулю.

Замечание 2. Эта теорема также имеет место, если функционал зависит от функции нескольких переменных. В этом случае в классе функций (2.28) функции Y0, Y и h будут зависеть от нескольких переменных.

< Предыдущая		Следующая >