18. Основная задача вариационного исчисления

До сих пор в обычном курсе анализа Вы имели дело с функциями. При изучении вариационного исчисления мы встретимся с новым видом объектов - функционалами. Чем же отличаются функционалы от функций? Давайте вспомним известное Вам определение функции.

Определение 1. Функцией называется любое правило, по которому заданному числу X из некоторого их множества ставится в соответствие число Y.

Мы обозначаем функцию так:

(2.1)

Множество чисел X, на которых определена функция Y, называется областью определения функции. Обычно область определения функции - это интервал, или система интервалов (открытых, полуоткрытых, закрытых), или вся числовая ось.

Если числу a ставится в соответствие функция, то это также функция, но уже зависящая от параметра:

(2.2)

Её можно рассматривать как функцию двух аргументов.

А вот если функции ставится в соответствие число, то это и будет функционал.

Определение 2. Функционалом называется любое правило, по которому заданной функции Y(X) из некоторого их множества ставится в соответствие число J.

Обозначим функционал так:

(2.3)

Множество функций Y(X), на которых определён функционал J, назовём классом функций.

В (2.3) записан простейший случай зависимости. В общем случае функционал J может зависеть не от одной, а от нескольких функций, причём функции могут быть нескольких переменных. Функционал J может зависеть также от производных этих функций.

Пример 1. Длина линии, соединяющей точки M1(X1,Y1) и M2(X2,Y2) - это функционал:

(2.4)

Здесь классом функций, на котором определён наш функционал, является множество дифференцируемых на [X1,X2] функций, проходящих через точки M1(X1,Y1) и M2(X2,Y2). Дифференцируемых - потому, что нам нужно вычислять производную; проходящих через точки M1(X1,Y1) и M2(X2,Y2) - потому, что так задано в условии задачи.

Определение 3. Основной задачей вариационного исчисления является исследование на экстремум функционалов, т. е. нахождение таких функций (из данного класса), которые доставляют функционалу наибольшее или наименьшее значение. Такие функции назовём экстремалями.

Так, в примере 2.1 экстремалью является прямая, соединяющая точки M1(X1,Y1) и M2(X2,Y2): эта функция доставляет минимум функционалу (2.4) на соответствующем классе.

Из глубокой древности до нас дошли три классические задачи вариационного исчисления. Это задача Дидоны, задача о брахистохроне и задача о якорной цепи.

Задача Дидоны. По преданию, Дидона была дочерью одного из древних царей и его наследницей. Однако братья задумали лишить её наследства. Чтобы посмеяться над ней, они вывезли Дидону на пустынный берег моря, бросили перед ней шкуру быка и сказали: "Вот тебе шкура, построй на ней город и царствуй в нём". Не растерялась Дидона. Порезала она шкуру на тонкие полоски, связала их в одну длинную верёвку и отхватила этой верёвкой кусок прибрежной полосы. Так, по преданию, был основан город Карфаген. А задача, которую решила Дидона, стала классической задачей вариационного исчисления: линией заданной длины L, соединяющей точки O(0,0) и M2(X2,0), охватить максимальную площадь S, расположенную под линией и выше оси Ox (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Если правый конец X2 неподвижен, то решением задачи Дидоны является сегмент круга, а если может скользить вдоль оси Ox - то полукруг. Эта задача относится к классу изопериметрических.

Оценим, какую площадь имел Карфаген в момент его основания. Шкура быка имеет площадь SШ»2м2. С помощью примитивных инструментов её можно разрезать на полоски шириной H»5мм. Длина полученной верёвки L=SШ/H»400м. Этой верёвкой можно охватить полукруг радиуса R=L/p»127.3м. Площадь такого полукруга SГ=pR2/2»25465м2. Два с половиной гектара - это не очень то и много.

Задача о брахистохроне. Найти линию, скатываясь по которой без трения, материальная точка придёт из начального положения O(0,0) в конечное M2(X2,Y2) за минимально возможное время (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Если Вы заранее не знаете, то вряд ли догадаетесь, что решением этой задачи является циклоида. Да, да, та самая циклоида: след точки на ободе колеса, которое катится без трения по оси Ox.

Задача о цепной линии. Найти форму провисания якорной цепи. Или, что то же самое, найти форму провисания тонкой абсолютно гибкой нерастяжимой нити.

Решением этой задачи является гиперболический косинус, который иногда так и называют: цепная линия.

Как и задача Дидоны, эта задача является изопериметрической.

< Предыдущая		Следующая >